Траектория снаряда, брошенного под гору

Я изучаю механику и задался целью решить задачу определения оптимального угла броска снаряда стоя на возвышенности, на максимальную дальность. Мой ответ кажется почти правдоподобным, за исключением одного члена, который, чтобы быть правдоподобным, должен поменять свой знак. Но я не могу найти пробела в своих рассуждениях.

Проблема: я стою на прямом склоне холма и хочу бросить камень с максимальной дальности. Холм наклонен от горизонтали на$\varphi$. Какой угол$\theta$выше горизонтали я должен бросить его?

Мое решение:

1. Используйте координаты, чтобы$x$находится параллельно холму

2. Позволять$\alpha = \varphi + \theta$(то есть угол над землей, на который я бросаю)

3. Затем начальная$v$является$v_x = \cos \alpha$,$v_y = \sin \alpha$(нормализация единиц для удаления любых констант)

4. Тогда ускорение свободного падения равно$a_x = -k \sin \varphi$,$a_y = - k \cos \varphi$(гравитация в направлении y). Для упрощения расчетов предположим$k = 2$(ответ верен для любого значения гравитации, поэтому на Луне он такой же, как и на Земле)

5. Мы хотим найти альфу, которая максимизирует$s_x$в то время, что делает$s_y = 0$. Сначала найдите время, за которое$s_y = 0$; назовите это т.

6. $s_y = t \sin \alpha - t^2 \cos \varphi$. Используя квадратичную формулу,$s_y = 0$в$t = 0$или$t = \frac{ \sin \alpha }{\cos \varphi}$.

7. Теперь найди$s_x$в этот$t$. Подставляя и используя базовую алгебру и триггер, мы получаем$s_x = \sin \alpha \, \cos \alpha - \sin ^2 \alpha\, \tan \varphi$. (Это имеет смысл; первый член достигает максимума при$\pi/4$, как и следовало ожидать от симметрии. Второе слагаемое говорит нам, что если земля значительно проседает, мы должны уменьшить угол бросания. Очень правдоподобно.)

8. Принимая фи за константу, мы хотим максимизировать это выражение. Небольшое исчисление и триггерные тождества дают производную, равную$\cos(2\alpha)- \sin(2\alpha) \,\tan \varphi$, который имеет ноль в$\alpha = \pi/4 - \varphi/2$, или$\theta = \pi/4 - 3\varphi/2$. Вот где вещи ломаются. Первый срок,$\pi/4$, кажется правильным. Но второй член дает смехотворные результаты.

9. Переключение знака второго члена в альфа-уравнении приводит к$\theta = \pi/4 - \varphi/2$, что дает вполне правдоподобные результаты. Но я не могу найти ни одной ошибки в своих рассуждениях или расчетах!

Кто-нибудь может найти недостающую ссылку?

Пояснение к ответу:

Как определил Пигмалион, шаг 4 неверен. $a_y$значение правильное, но ,$a_x$должен быть положительным : указывая вниз по склону.

Ответ не зависит от величины силы тяжести; но это зависит от направления .

Пересмотр вывода:

7.$s_x = \sin \alpha \cos \alpha + \sin ^2 \alpha \tan \phi$

8. Производная$\cos(2 \alpha) + \sin(2 \alpha) \tan \phi$, с нулем в$\alpha = \pi/4 + \phi/2$, таким образом$\theta = \pi/4 - \phi/2$. КЭД.