Интуитивный смысл частного случая уравнения Бернулли

Question

Интуитивный смысл частного случая уравнения Бернулли

Гаурав

В уравнении Бернулли , если $h$ равен нулю, сводится к

п_{1} + \frac{1}{2} р в_{1}^{2} "=" п_{2} + \frac{1}{2} р в_{2}^{2}

$P_1+\frac12\rho v_1^2 = P_2+\frac12\rho v_2^2$

Уравнение не имеет интуитивного смысла, кроме того факта, что оно является голой математической истиной.

Я попытался интерпретировать это следующим образом: сумма кинетической энергии на единицу объема и давления, оказываемого текучей средой в горизонтальной трубе, постоянна в направлении потока. Тем не менее, я до сих пор не могу понять, как (давление) + (кинетическая энергия на единицу объема) является сохраняющейся величиной.

Пожалуйста, выскажите свое мнение о том же.

Дэвид З.

Мне непонятно, о чем именно вы спрашиваете - обычно «Пожалуйста, выскажите свое мнение» или тому подобное на самом деле не вопрос. Не могли бы вы уточнить, что именно вы хотите узнать?

Гаурав

Я просто прошу интуитивного объяснения данного уравнения.

Майк Данлави

Смотри сюда .

Ян Лалински

Вот очень четкий и краткий вывод, который может дать вам некоторое «интуитивное значение»: feynmanlectures.caltech.edu/II_40.html#Ch40-S3-p1 Вопреки распространенному толкованию, наличие термина давление не означает жидкость под давлением имеет плотность энергии, равную давлению; термин входит как работа окружающей жидкости, а не как внутренняя энергия.

Гаурав

Большое спасибо @JánLalinský! Вы также могли бы воспроизвести соответствующие части страницы в ответе. Таким образом, объяснение будет более заметным для других пользователей.

Ян Лалински

Я мог бы, но это заняло бы много времени. Возможно, вы сможете это сделать, если найдете вывод Фейнмана полезным.

Гаурав

@ JánLalinský Если бы я сделал это, разве все вознагражденные представители не пошли бы ко мне вместо тебя? :)

Ян Лалински

Да! Я бы тоже немного печатал.

Ответы (1)

Интуитивный смысл частного случая уравнения Бернулли

Мне непонятно, о чем именно вы спрашиваете - обычно «Пожалуйста, выскажите свое мнение» или тому подобное на самом деле не вопрос. Не могли бы вы уточнить, что именно вы хотите узнать?
Я просто прошу интуитивного объяснения данного уравнения.
Вот очень четкий и краткий вывод, который может дать вам некоторое «интуитивное значение»: feynmanlectures.caltech.edu/II_40.html#Ch40-S3-p1 Вопреки распространенному толкованию, наличие термина давление не означает жидкость под давлением имеет плотность энергии, равную давлению; термин входит как работа окружающей жидкости, а не как внутренняя энергия.
Большое спасибо @JánLalinský! Вы также могли бы воспроизвести соответствующие части страницы в ответе. Таким образом, объяснение будет более заметным для других пользователей.
Я мог бы, но это заняло бы много времени. Возможно, вы сможете это сделать, если найдете вывод Фейнмана полезным.
@ JánLalinský Если бы я сделал это, разве все вознагражденные представители не пошли бы ко мне вместо тебя? :)

Кайл Канос · Answer 1

Тот факт, что уравнение Бернулли содержит члены плотности кинетической и потенциальной энергии (энергии на единицу объема), должен убедительно свидетельствовать о том, что сохраняющаяся величина на самом деле является энергией . Видеть давление как энергетический термин немного сложнее, но на самом деле его проще всего увидеть по вашим единицам измерения:

[п] "=" \frac{Н}{А} "=" \frac{Н \cdot м}{А \cdot м} "=" \frac{Дж}{В}

$\left[\,{p}\,\right]=\frac{\rm N}{\rm A}=\frac{\rm N\cdot m}{\rm A\cdot m}=\frac{\rm J}{\rm V}$ что является той же единицей, что и плотность энергии.
NB : крутящий момент и энергия имеют одни и те же единицы измерения, но это определенно не одно и то же, поэтому вы не можете обязательно приравнивать вещи на основе их единиц. В этом конкретном случае два элемента (давление и плотность кинетической энергии) приравниваются , но не из-за единиц (вместо физики), а это означает, что давление можно рассматривать как плотность энергии.

Несколько примеров, которые показывают, что давление пропорционально плотности энергии:

Уравнение состояния идеального газа дает $p=\rho e/(\gamma-1)$ где $e$ - удельная внутренняя энергия (умноженная на $\rho$ дает плотность энергии)
магнитное давление , $p=B^2/2\mu_0$ , – составляющая полной плотности энергии электромагнитного поля , $\mathcal U=\epsilon_0E^2/2+B^2/2\mu_0$
Кинетическая теория показывает, что давление газа обусловлено передачей импульса частицами, что дает нам классическое «давление равно 1/3 средней кинетической энергии». $p=\rho\langle u^2\rangle/3$

И, возможно, еще несколько мест, которыми я сейчас пренебрегаю.

Далее, в рамках Эйлера уравнение сохранения энергии принимает вид

\frac{\partial Е}{\partial т} + \nabla \cdot ([Е + п] ты) "=" 0

$\frac{\partial E}{\partial t}+\nabla\cdot\left(\left[E+p\right]\mathbf u\right)=0$ где

E = ρ e + \frac{1}{2} ρ (u \cdot u)

$E=\rho e+\frac12\rho\left(\mathbf u\cdot\mathbf u\right)$ это полная энергия на единицу объема (полная плотность энергии), поэтому давление должно быть энергетическим термином, который нужно добавить к плотности энергии (поскольку нельзя просто добавить разные величины ).

Спасибо за время! Не могли бы вы подробнее остановиться на части «немного сложнее», пожалуйста? Есть ли какая-либо сфера понимания давления как энергии на единицу объема помимо размерного анализа?
Конечно, это еще не все, единицы, вероятно, самый простой способ просмотреть их напрямую. Уравнение состояния идеального газа, $p\propto\rho e$ , также напрямую показывает зависимость плотности энергии
Этот ответ неверен. Представление о том, что давление жидкости дает плотность запасенной энергии (в смысле механики и термодинамики), в общем случае не соответствует действительности. Это легко увидеть в случае несжимаемой жидкости; каким бы большим ни было давление, жидкость не сохраняет энергию после увеличения давления, поскольку объем любого жидкого элемента не изменяется и работа не совершается. Как правило, равенства единиц недостаточно, чтобы интерпретировать одну величину как другую. В особых случаях внутренняя энергия может быть пропорциональна давлению, как у идеального газа . Идеальный газ — это особый случай.
@ JánLalinský: Я согласен, это не совсем правильно. Однако с точки зрения гидродинамики, о чем ОП спрашивает, это соотношение обычно справедливо для самых разных приложений.
Другой, более математический способ увидеть это - оценить уравнение непрерывной передачи механической энергии несжимаемой жидкости: $\partial_t(\epsilon) + \nabla \cdot [(\epsilon + p)\mathbf v] = 0$ , где $\epsilon=\frac{1}{2}\rho v^2$ плотность кинетической энергии. Давление вносит вклад в плотность потока энергии, но не в плотность самой энергии.
+ @JánLalinský: Единственное, что может ускорить жидкость, — это давление, обеспечивающее силу, которая действует на расстоянии, производя кинетическую энергию в жидкости. Я думаю, это то, что говорит Кайл.
@JánLalinský: Каждый источник, который я когда-либо видел, показывает $\epsilon=\rho e+\frac12\rho v^2$ , которая является полной плотностью энергии (внутренняя плюс кинетическая). Из закона идеального газа мы можем использовать $\epsilon=p(\gamma-1)^{-1}+\frac12\rho v^2$ .
Мой пример был о несжимаемой жидкости, где $e$ никогда не меняется (поэтому не зависит от давления) и может быть опущен. В вашем примере плотность внутренней энергии зависит от давления, но не равна ему. В общем случае она будет даже не линейна по давлению.
@ JánLalinský: Я не думаю, что можно исключить термин из определения, потому что его производная равна нулю в определенных случаях (особенно в тех, которые не часто выполняются). Для большинства приложений применим закон идеального газа, поэтому $e\propto p$ .
@KyleKanos, вы упускаете суть. Я привел пример - несжимаемая жидкость в адиабатическом течении - где $e$ не имеет значения и может быть опущен. Эта модель является такой же важной частью «большинства приложений», как и модель идеального газа. В общем, единственное, что можно сказать о внутренней энергии, это то, что она является функцией как давления, так и температуры. Как правило, давления недостаточно для расчета внутренней энергии.
@JánLalinský: Я понимаю вашу точку зрения, но я считаю, что это не имеет значения. ОП хочет знать для конкретного случая уравнения Бернулли, как связаны давление и плотность кинетической энергии. Я думаю, что мой ответ показывает, что во многих случаях давление можно рассматривать как термин плотности энергии, и это один из них.
@KyleKanos, к сожалению, нет, ваш ответ только сбивает его с толку, потому что уравнение Бернулли в том виде, в котором он его написал, не применяется к сжимаемым жидкостям, о которых вы здесь говорите.
@JánLalinský: ты ошибаешься. Ничто из того, что я написал, не требует сжимаемости, это все из анализа размерностей. Даже уравнение Эйлера справедливо для обоих некомп. и комп. жидкости.
@KyleKanos, все ваши последние утверждения верны и объясняют, почему ваш ответ на исходный вопрос не соответствует действительности. Исходный вопрос касается простого уравнения Бернулли, справедливого только для несжимаемых течений. Для таких течений плотность внутренней энергии $e$ любого элемента жидкости не меняется и может быть полностью исключен из обсуждения. В сжимаемых течениях внутренняя энергия играет роль, но уравнение Бернулли здесь не выполняется.
@JánLalinský: мой ответ говорит столько же, сколько я написал здесь. Только для уравнения состояния идеального газа я обращаюсь к внутренней энергии. В противном случае мой ответ зависит от размерного анализа.
@JánLalinský: Это мое любимое объяснение. Он предполагает несжимаемость, предполагая $\rho$ постоянно.
@Mike Dunlavey: Хорошая ссылка, Майк! Что меня поражает, так это удивительная природа физики (и, конечно же, математики). Исходное уравнение не нуждается в столь глубоких интерпретациях, оно совершенно понятно и интуитивно понятно. Но как только вы сведете его к заданному частному случаю, вуаля!, вам потребуется совсем другой уровень интуиции!
@KyleKanos: на самом деле я не знаком со сжимаемыми жидкостями. Но тем не менее у меня появилось новое понимание.
@Simha: Честно говоря, я не вижу, где я упомянул о сжимаемости или несжимаемости в своем ответе. Перечитывая его столько раз, сколько я делал, я по-прежнему утверждаю, что мой ответ и комментарии доказывают отношение, полностью основанное на пространственных основаниях.
@KyleKanos: Я думал, что в уравнении Эйлера есть термины, характерные для сжимаемых жидкостей, когда я делал комментарий. Однако в комментариях я позже вижу, что вы разъяснили то же самое. Простите меня за недоразумение.

Интуитивный смысл частного случая уравнения Бернулли

Гаурав

Дэвид З.

Гаурав

Майк Данлави

Ян Лалински

Гаурав

Ян Лалински

Гаурав

Ян Лалински

Ответы (1)

Кайл Канос

Гаурав

Кайл Канос

Ян Лалински

Кайл Канос

Ян Лалински

Майк Данлави

Кайл Канос

Ян Лалински

Кайл Канос

Ян Лалински

Кайл Канос

Ян Лалински

Кайл Канос

Ян Лалински

Кайл Канос

Майк Данлави

Гаурав

Гаурав

Кайл Канос

Гаурав