Выполняется ли уравнение неразрывности, если поток ускоряется?

Question

Выполняется ли уравнение неразрывности, если поток ускоряется?

Пиюш Кушваха

Я изучаю линейный поток, в частности уравнение неразрывности Принцип Бернулли.

Рассмотрим следующую систему, в которой жидкость течет по трубе с одинаковой площадью поперечного сечения A от высокого давления P2 до низкого давления P1, оба из которых поддерживаются.

<--------length = r----------->
_______________________________
P2                           P1
_______________________________
           flow ->

Исходя из предположений, что

Разница в давлении и есть то, что заставляет жидкость течь. $P_2 > P_1$
Уравнение неразрывности $A_1v_1 = A_2v_2$ держит
Принцип Бернулли выполняется

Тогда мой анализ выглядит следующим образом

Уравнение Бернулли дает

п_{2} + \frac{1}{2} р в_{2}^{2} "=" п_{1} + \frac{1}{2} р в_{1}^{2}

$P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 = P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2$ Следовательно, скорость жидкого элемента будет больше при

P_{1}

$P_1$ и меньше в

P_{2}

$P_2$ с

P_{2} > P_{1}

$P_2 > P_1$

Но потом

А_{1} в_{1} "=" А_{2} в_{2}

$A_1v_1 = A_2v_2$

а поскольку площадь поперечного сечения однородна, скорости должны быть одинаковыми, что противоречит результату уравнения Бернулли!

Что-то не так с моим анализом или предположениями, но я не могу понять, что именно

Ответы (3)

Выполняется ли уравнение неразрывности, если поток ускоряется?

Майкл Зайферт · Answer 1

В том виде, в котором вы это изложили ( $A_1 v_1 = A_2 v_2$ ), уравнение неразрывности выполняется только для несжимаемых жидкостей. Итак, вы обнаружили, что тип ускоренного потока, который вы описываете, не может возникнуть для несжимаемой жидкости в трубе с однородным поперечным сечением. Более общая форма уравнения неразрывности основана на сохранении массы (т. Е. Масса за время входа = масса за время выхода) и состояния

{Вопрос}_{м} "=" р_{1} А_{1} в_{1} "=" р_{2} А_{2} в_{2},

$Q_m = \rho_1 A_1 v_1 = \rho_2 A_2 v_2,$ где

Q_{m}

$Q_m$ - массовый расход (т. е. масса за время). Это означает, что если скорость жидкости увеличивается, ее плотность должна уменьшаться.

Аналогией здесь могут быть автомобили на шоссе. Предположим, у вас есть шоссе, которое ведет из центра маленького городка в сельскую местность. Предположим далее, что все водители являются совершенно безопасными водителями и соблюдают правило двух секунд, т. е. автомобили проезжают данную точку шоссе со скоростью одна машина каждые две секунды. Если ограничение скорости в городе низкое, то машины будут более тесно расставлены, так как две секунды соответствуют меньшему расстоянию. Таким образом, плотность автомобилей в этом месте выше. Когда автомобили выезжают из города и ограничение скорости увеличивается, автомобили отдаляются друг от друга дальше (поскольку две секунды теперь соответствуют большему расстоянию), и поэтому плотность уменьшается.

Уравнение Бернулли, между тем, не имеет такой простой формы для сжимаемых жидкостей. Скорее, вы должны определить потенциал давления $w(P)$ из уравнения состояния $\rho(P)$ :

\frac{1}{2} в^{2} + г у + ш (п) "=" с о н с т .,

$\frac{1}{2} v^2 + gy + w(P) = \mathrm{const.},$ где

ш (п) "=" \int \frac{г п}{р (п)} .

$w(P) = \int \frac{\mathrm dP}{\rho(P)}.$ В случае «несжимаемой» жидкости

ρ (P) = ρ

$\rho(P) = \rho$ постоянная,

w (P) = P / ρ

$w(P) = P/\rho$ , и знакомая форма закона Бернулли восстановлена. Но для сжимаемой жидкости уравнение может выглядеть совсем иначе.

Для несжимаемой жидкости объемный расход должен оставаться одинаковым, и, следовательно, скорости двух концов должны быть одинаковыми, что для меня имеет смысл, да. Но тогда я не могу понять, что вызывает поток жидкости, если не разница в давлении на двух концах? Если бы не было разницы в давлении, жидкость бы не двигалась, верно? Или дело в том, что разница в давлении заставляет жидкость течь, но уравнение Бернулли не применяется в установке, как я сказал выше (с несжимаемой жидкостью), и какой-то другой закон даст указание на скорость потока?
@PeeyushKushwaha: Совершенно естественно, что жидкость движется без какого-либо изменения давления от одного конца трубы к другому. Когда давление и площади одинаковы по обе стороны от «кусочка» воды в трубе, это означает, что силы с обеих сторон уравновешиваются; но это просто означает, что вода движется с постоянной скоростью, не обязательно с нулевой скоростью. (Первый закон Ньютона!) Вы правы в том, что сначала вам понадобится разница в давлении, чтобы запустить поток; но когда он движется, для поддержания потока не требуется разницы в давлении.
@PeeyushKushwaha: Просто чтобы завершить мою мысль: уравнение Бернулли и уравнение неразрывности (даже в той форме, которую я написал выше) неявно предполагают, что ничто не зависит от времени, т. Е. Скорость в данной точке трубы не меняется. Таким образом, вы не можете использовать ни один из них для определения того, как запускается поток; они действительно имеют дело только с установившимся потоком, когда все движется гладко и плавно по всей системе.
Это устраняет мое замешательство. Я почему-то думал, что должна быть постоянная разница давлений между двумя концами трубы, чтобы «двигать» поток, без которого поток должен остановиться.
@PeeyushKushwaha: Вы не совсем не правы; в «реальном мире» жидкости обладают вязкостью, которая создает дополнительную силу между стенками трубы и жидкостью. Если вы хотите принять это во внимание, вместо этого вы получите что-то вроде уравнения Пуазейля, где для поддержания постоянного потока требуется перепад давления. Уравнение Бернулли на самом деле является приближением, в котором вязкостью можно пренебречь. Это мало чем отличается от того, как мы говорим о «таблицах без трения» во вводной механике — такой вещи на самом деле не существует, но во многих ситуациях ее эффекты незначительны.
А, спасибо. Хотя мое первоначальное замешательство заключалось в том, что я не смог учесть инерцию, которая будет поддерживать течение жидкости.

пользователь5954246 · Answer 2

Вопрос очень хороший, но сделанное вами предположение неверно!

Я согласен, что вода движется из-за разницы давлений между водой и воздухом .

Как я показал точку $P_1$ и $P_2$ на диаграмме.

Теперь вода движется из-за разницы давлений между этим $P_1$ и $P_2$ так как вода достигает конца трубы ( согласно диаграмме ) давление в воде все еще $P_1$ и давление рядом с ним ( я имею в виду давление воздуха рядом с ним ) по-прежнему $P_2$

Ваша ошибка в том, что вы приняли уравнение Бернулли для воздуха и воды, что совершенно неверно. Уравнение Бернулли справедливо только для одной жидкости в каждый момент времени, но вы взяли две отдельные жидкости, что совершенно неверно.

Вы можете сказать, почему давление должно быть одинаковым в начальной и конечной точках. Причина в том, что жидкость находится на горизонтальном уровне; более того, он имеет однородное поперечное сечение и согласно уравнению неразрывности должен иметь одинаковую скорость. Таким образом, оно должно удовлетворять уравнению Бернулли, поэтому давление должно быть равным ( поскольку уравнение Бернулли является свойством обтекаемой жидкости ) .

ПРИМЕЧАНИЕ:-

Уравнение Бернулли можно применять к одной жидкости за раз.
Если жидкости находятся на одном горизонтальном уровне и имеют одинаковое поперечное сечение, то они всегда имеют одинаковую скорость ( только обтекаемая жидкость ).

ОП — это обычное слово для оригинального постера , то есть человека, написавшего вопрос.
он призвал воду и воздух, сказав, что из-за разницы давлений вода движется, а разница давлений существует только между водой и воздухом, а не между водой в начальной и конечной точках.
ОП сказал, что в потоке жидкости была разница давлений; ни о каких интерфейсах в посте ничего нет.
Нет! ОП неправильно понял, что между водой нет разницы в давлении, но есть разница в давлении между воздухом и водой ( это единственная причина движения жидкости )
Я думаю, что вы накладываете ненужное дополнительное ограничение на проблему, но я на самом деле не хочу / не хочу идти дальше, чем несогласие, которое я уже продемонстрировал.
@KyleKanos Я думаю, что DeNiSkA хочет сказать, что ситуация, которую я описал, не может физически существовать, за исключением случая двух разных жидкостей, как они описали.
ну, это казалось мне вполне логичной причиной! не стесняйтесь голосовать против :)
@DeNiSkA Думаю, теперь я понял. Вы говорите, что как только начнется течение (при условии, что до этого был только воздух или вакуум, который оказывает незначительное сопротивление ускорению), только тогда несжимаемая жидкость будет ускоряться по трубе, верно?
честно говоря, нет :-).... в соответствии с вашим вопросом, который вы написали ( какое предположение я делаю ?), и я написал ответ, связанный с этим ... и ваше первое предположение неверно!!

Берхан Б. · Answer 3

В случае течения в трубе к уравнению Бернулли добавляются два члена. Условия крупного убытка и незначительного убытка. Основные потери связаны с трением о стенки, а незначительные потери связаны с изменением формы трубы. (клапаны, колена и т.д.)

В системе, которую вы рисуете, разница давлений преодолевает трение о стенки. Трение о стенки увеличивается со скоростью жидкости, следовательно, увеличение разности давлений увеличивает скорость жидкости.

Выполняется ли уравнение неразрывности, если поток ускоряется?

Пиюш Кушваха

Ответы (3)

Майкл Зайферт

Пиюш Кушваха

Майкл Зайферт

Майкл Зайферт

Пиюш Кушваха

Майкл Зайферт

Пиюш Кушваха

пользователь5954246

ПРИМЕЧАНИЕ:-

Кайл Канос

пользователь5954246

Кайл Канос

пользователь5954246

Кайл Канос

пользователь5954246

Кайл Канос

Пиюш Кушваха

пользователь5954246

пользователь5954246

Пиюш Кушваха

пользователь5954246

Берхан Б.

Справедливо ли уравнение неразрывности при работе с вертикальными трубами?

Могут ли уравнение неразрывности и Бернулли противоречить друг другу?

Интуитивный смысл частного случая уравнения Бернулли

Уравнение Бернулли и системы отсчета

Почему мне кажется, что большие машины «притягивают» меня, когда я подъезжаю к ним близко?

Принцип Бернулли: почему увеличение площади сечения шланга приводит к увеличению давления?

Уравнение непрерывности

Расстояние, пройденное водяной струей

Уравнение Бернулли для течения между цилиндрами

Помогите понять уравнение Бернулли для нестационарных течений