Могут ли уравнение неразрывности и Бернулли противоречить друг другу?

Question

Могут ли уравнение неразрывности и Бернулли противоречить друг другу?

Спутник

Пожалуйста, потерпите меня - я несостоявшийся математик, и я самостоятельно изучаю эти концепции.

Вопрос задает следующее:

Вода течет по трубе диаметром 5 м со скоростью 10 м/с. Затем он стекает в меньшую трубу диаметром 2 м. Высота между центрами секций трубы 5 м. Плотность считается однородной по сечениям. Манометрическое давление на границе 1 составляет 120 кПа. Рассчитайте скорость на меньшем сечении трубы.

Я не вижу причин предполагать, что непрерывность массового потока не применяется, и использование $v_1A_1 = v_2A_2$ один получает $v_2 = 62.5$ РС. Однако, используя уравнение Бернулли, предполагая атмосферное давление в меньшем сечении, можно получить

\frac{п_{1}}{р} + \frac{1}{2} в_{1}^{2} + + г г_{1} "=" \frac{п_{2}}{р} + \frac{1}{2} в_{2}^{2} + г г_{2}

$\frac{p_1}{\rho} + \frac{1}{2}v_1^2 + + gz_1 = \frac{p_2}{\rho}+\frac{1}{2}v_2^2 + gz_2$

120 + 50 + 5 г "=" 0 + \frac{1}{2} в_{2}^{2} + 0

$120+ 50 + 5g = 0 + \frac{1}{2}v_2^2 + 0$

в_{2} "=" 20,93,

$v_2 = 20.93,$ и на самом деле это то, что дает ответ учебника. Я совершенно не понимаю, почему непрерывность масс применима в других ситуациях, даже при изменении давления, но, похоже, не применима здесь.

Мой вопрос: тогда этот вопрос из учебника некорректен? Я чувствую, что, предоставляя слишком много информации о сечении трубы без проверки расчетов, вопрос обязательно вызовет противоречие. Диаметры 5 м / 2 м на самом деле не входят в окончательный ответ.

РЕДАКТИРОВАТЬ : я добавил ниже единственный ответ, который меня устраивает, который имеет смысл данных. Пожалуйста, поправьте меня, как считаете нужным.

нлуиги

Мне кажется, что вы бы использовали непрерывность для расчета скорости в меньшей трубе, а затем Бернулли для расчета соответствующего давления. В описании проблемы нет указаний на то, что меньшая труба обязательно находится под атмосферным давлением.

нлуиги

К вашему сведению: непрерывность похожа на законы термодинамики, но для гидродинамики, если ваша модель не следует им, то ваша модель, скорее всего, неверна.

Спутник

Спасибо за комментарий. В свете этого вопроса я отметил, что скорость

62.5

$62.5$ м/с на выходе приводит к давлению

- 1734

$-1734$ кПа. Я не знал об использовании идеи образования кавитации при давлении примерно

- 1

$-1$ атм, поэтому, принимая это во внимание, скорость достигает максимума примерно при

25.3

$25.3$ м/с на выходе. При возникновении кавитации верхняя труба не может быть заполнена, что приводит к уменьшению площади поперечного сечения и, следовательно, к сохранению непрерывности.

Спутник

Я все еще не уверен на 100%, что у меня правильная идея, но, исключая любые другие предстоящие ответы позже сегодня, я мог бы попытаться полностью конкретизировать этот ответ ниже, чтобы другие могли исправить или прокомментировать...

нлуиги

Учитывали ли вы, что давление на входе в большую трубу дается как манометрическое давление?

Спутник

Да - работали с манометром на протяжении всего вопроса.

Ответы (1)

Могут ли уравнение неразрывности и Бернулли противоречить друг другу?

Мне кажется, что вы бы использовали непрерывность для расчета скорости в меньшей трубе, а затем Бернулли для расчета соответствующего давления. В описании проблемы нет указаний на то, что меньшая труба обязательно находится под атмосферным давлением.
К вашему сведению: непрерывность похожа на законы термодинамики, но для гидродинамики, если ваша модель не следует им, то ваша модель, скорее всего, неверна.
Спасибо за комментарий. В свете этого вопроса я отметил, что скорость $62.5$ м/с на выходе приводит к давлению $-1734$ кПа. Я не знал об использовании идеи образования кавитации при давлении примерно $-1$ атм, поэтому, принимая это во внимание, скорость достигает максимума примерно при $25.3$ м/с на выходе. При возникновении кавитации верхняя труба не может быть заполнена, что приводит к уменьшению площади поперечного сечения и, следовательно, к сохранению непрерывности.
Я все еще не уверен на 100%, что у меня правильная идея, но, исключая любые другие предстоящие ответы позже сегодня, я мог бы попытаться полностью конкретизировать этот ответ ниже, чтобы другие могли исправить или прокомментировать...
Учитывали ли вы, что давление на входе в большую трубу дается как манометрическое давление?
Да - работали с манометром на протяжении всего вопроса.

Спутник · Answer 1

Предположим, что вода несжимаема, поэтому $\rho =$ постоянный $= 1000 \text{ kg m}^{-3}$ . Используя непрерывность масс и предполагая, что обе трубы заполнены,

в_{1} А_{1} "=" в_{2} А_{2}

$v_1 A_1 = v_2A_2$

10 \cdot π (2,5)^{2} "=" в_{2} \cdot π (1)^{2}

$10 \cdot \pi(2.5)^2 = v_2 \cdot \pi(1)^2$

в_{2} "=" 62,5 {РС}^{- 1}

$v_2 = 62.5 \text{ ms}^{-1}$ Однако мы можем проверить результирующее манометрическое давление на второй границе с помощью Бернулли и найти

120 + \frac{1}{2} (10)^{2} + 5 г "=" \frac{п_{2}}{1000} + \frac{1}{2} (62,5)^{2} + 0

$120 + \frac{1}{2}(10)^2 + 5g = \frac{p_2}{1000} + \frac{1}{2}(62.5)^2 + 0$

170 + 5 г "=" \frac{п_{2}}{1000} + 1953.125

$170 + 5g = \frac{p_2}{1000} + 1953.125$

п_{2} "=" - 1734 кПа

$p_2 = -1734 \text{ kPa}$ Это невозможно без возникновения кавитации. Мы можем поступить одним из двух способов: либо предположение о том, что обе трубы заполнены, ошибочно и большая верхняя труба должна быть заполнена частично, либо пузырьки воздуха, образовавшиеся в результате кавитации, легче воды поднимутся к верхней трубе. Оба они фактически имеют один и тот же результат: верхняя труба может быть заполнена только частично.

Мы предполагаем, что кавитация возникает на жестком низком барьере $-101$ кПа (манометр) на второй границе. Затем

120 + \frac{1}{2} (10)^{2} + 5 г "=" - 101 + \frac{1}{2} (в_{2})^{2} + 0

$120 + \frac{1}{2}(10)^2 + 5g = -101 + \frac{1}{2}(v_2)^2 + 0$

в_{2} "=" 25,3 {РС}^{- 1}

$v_2 = 25.3 \text{ ms}^{-1}$ Возвращаясь к непрерывности массы, предполагая, что нижняя труба заполнена,

10 A_{1} = 25.3 \cdot π (1)^{2}

$10A_1 = 25.3 \cdot \pi(1)^2$ и поэтому

A_{1} = 7.95 m^{2}

$A_1 = 7.95 \text{ m}^2$ . С небольшим количеством геометрии это приводит к глубине

2.12

$2.12$ м в верхней трубе - чуть менее чем наполовину.

Могут ли уравнение неразрывности и Бернулли противоречить друг другу?

Спутник

нлуиги

нлуиги

Спутник

Спутник

нлуиги

Спутник

Ответы (1)

Спутник

Справедливо ли уравнение неразрывности при работе с вертикальными трубами?

Интуитивный смысл частного случая уравнения Бернулли

Выполняется ли уравнение неразрывности, если поток ускоряется?

Уравнение Бернулли и системы отсчета

Почему мне кажется, что большие машины «притягивают» меня, когда я подъезжаю к ним близко?

Принцип Бернулли: почему увеличение площади сечения шланга приводит к увеличению давления?

Уравнение непрерывности

Расстояние, пройденное водяной струей

Уравнение Бернулли для течения между цилиндрами

Помогите понять уравнение Бернулли для нестационарных течений