Интуиция для параллельного транспорта колеи (петли Уилсона)

Это определение калибровочного поля. Предположим, у вас есть симметрия SU (2), для определенности рассмотрим изоспин. Таким образом, понятия «протон» и «нейтрон» определяют две оси в пространстве изоспинов, и вы можете захотеть сказать, что это произвольно, какие две линейные комбинации протона и нейтрона являются правильными базисными векторами. Так что кто-то определяет один базис «протона» и «нейтрона» в одной точке, а кто-то другой определяет в той же точке другой базис, и вы не можете сказать, какой из них правильный (представьте, что на протоне нет заряда, и массы точно равны).

Таким образом, у вас есть свобода переопределить протон и нейтрон с помощью другого вращения SU (2) в каждой точке. Это калибровочная свобода, вы можете умножить на другой групповой элемент G(x). Теперь, чтобы сравнить протон в точке x с протоном в точке y, вы должны переместить протон по кривой из x в y.

Калибровочное соединение сообщает вам, на какую матрицу вы умножаете, когда двигаетесь в бесконечно малом направлении.$\delta x_\alpha$. Матрица SU (2), которую вы вращаете, равна

Это бесконечно близко к тождеству, поэтому часть A находится в алгебре Ли SU (2). «i» является обычным в физике, чтобы сделать матрицу A эрмитовой, а не антиэрмитовой, как это более чистое соглашение, используемое в математике. Это означает, что A является линейной комбинацией матриц Паули. Это дает вам конкретное представление калибровочного поля (с подавлением индексов i, j):

Вы предположили, что параллельный транспорт является линейным в$\delta x$Это связано с тем, что это понятие совместимо с представлением о пространстве-времени как о дифференциальном многообразии --- если вы удваиваете смещение, вы удваиваете бесконечно малый угол поворота. Вы предполагаете, что оно бесконечно мало по физической непрерывности.

Отсюда очевидно, что параллельный перенос вдоль кривой является произведением А вдоль каждого из бесконечно малых сегментов, составляющих кривую:

Где упорядоченная по пути экспонента определяется как предел произведения слева. Это неабелевское обобщение фазы, приобретаемой заряженной частицей в электромагнитном поле на пути.

Таким образом, калибровочное поле представляет собой карту между кривыми и SU(N)-матрицами со свойством, заключающимся в том, что если вы соединяете пути встык, матрицы умножаются. Матрица, связанная с бесконечно малой замкнутой петлей, называется кривизной и пропорциональна элементу площади, заключенному в петлю. Это идентично общей теории относительности. Все упражнение представляет собой обобщение связи общей теории относительности со случаями, когда группы не являются вращениями. Специализация на случае вращения дает GR.

Это просто описать математически.

Сначала я напомню, что означает уравнение для фазы Ааронова-Бома, а затем опишу (без доказательства) его связь с параллельным переносом для$G$-связки, которые я определяю.

Калибровочный потенциал$A$является соединением по некоторому принципу$G$-связка, где$G$является калибровочной группой. Главный$G$- расслоения над многообразием$M$классифицируются вторыми когомологиями$H^2(M,G)$. Для кривой$\gamma$в$M$, мы можем вернуть любой основной пучок в$\gamma$, и с тех пор$\gamma$является одномерным,$H^2(\gamma,G)=0$, так что обратный образ основного расслоения тривиален. Соответственно, откат соединения$A$это просто 1-форма на$\gamma$(как только мы выбираем тривиализацию). Это означает выражение$exp(i \int_\gamma A)$имеет смысл. Чтобы оно не зависело от выбора тривиализации (которым изменение тривиализации вызывает сопряжение этой величины, являющейся элементом$G$) нам нужно взять функцию класса$\chi :G\rightarrow \mathbb{C}$(то есть тот, который зависит только от классов сопряженности в$G$) и рассмотрим$\chi (exp(i\int_\gamma A))$. Это зависит только от$A$,$\gamma$, и$\chi$. Функция класса$\chi$то же самое, что след в комплексном представлении$R$из$G$(такие объекты находятся в биекции), поэтому можно переписать это обычным образом:

$Tr_R exp(i\int_\gamma A)$.

Это фаза Ааронова-Бома.

Мы можем перефразировать это в терминах параллельного транспорта следующим образом. Волокно над базовой точкой$x \in M$это множество, на котором$G$действует верно и транзитивно. То есть любой конкретный выбор базовой точки$\tilde x$в волокне может быть отправлено на личность$G$и тем самым определяет изоморфизм между слоем и регулярным представлением$G$на себя. После выбора базовой точки в волокне, как и при параллельной передаче векторных расслоений, любая кривая из$x$в$M$однозначно поднимается на кривую в тотальном пространстве расслоения, которая начинается в точке$\tilde x$. Для петли$\gamma$, это поднимается до кривой, начинающейся в$\tilde x$и заканчивается где-то еще в волокне. Другими словами, лифт определяет карту$G$представления$G\rightarrow G$. Это аналог параллельного транспорта для главных$G$-связки. Выбрав базовую точку, мы можем идентифицировать этот набор карт с$G$, так что каждый цикл дает нам элемент$G$в зависимости от тривиализации расслоения в$x$. Изменение тривиализации соответствует сопряжению в$G$, поэтому мы можем выбрать представление и снова вычислить фазу Ааронова-Бома в этой абстрактной картине.

Теоремы де Рама (или, может быть, их простое расширение, просто используйте некоторые разбиения единицы, чтобы было достаточно показать для стягиваемого пространства) гарантируют, что каждая такая параллельная транспортная карта возникает из формы соединения$A$как в первом абзаце. то есть карта$G \rightarrow G$из$G$-представления просто$exp(i\int_\gamma A)$(в зависимости от тривиализации).

Хороший справочник по этому материалу можно найти в книге Накахара «Геометрия и топология в физике».