Смысл фиксации калибровки в ковариантном квантовании электромагнитного поля

У меня возникли проблемы с обдумыванием идеи ковариантного квантования электромагнитного поля, которое обычно делается в учебниках (в настоящее время я следую заметкам Мандла и Шоу и Дэвида Тонга в моем курсе QFT). Отправной точкой для квантования электромагнитного поля является разговор о свободе калибровки и о том, как она может быть полезна для рассмотрения электромагнетизма, а затем вы удобно выбираете условие Лоренца в качестве вспомогательного ограничения, которое вы хотите, чтобы 4-потенциал А мю удовлетворить; однако после квантования это условие становится ограничением на пространство допустимых физических состояний, а не на сами полевые операторы: «физические состояния» | Ψ ⟩ такие, что ∂ мю А мю + | Ψ ⟩ "=" 0 (условие Гупта-Блейлера). Теперь мой вопрос двоякий:

  1. Существует ли какая-либо процедура квантования, не зависящая от фиксации калибровки? Меня до сих пор не очень устраивает мысль о том, что вам нужно зафиксировать калибровку, чтобы последовательно квантовать теорию, которую вы явно сформулировали как калибровочный инвариант с самого начала, и мне кажется, что это делается очень дорого - - фиксация калибровки проявляется как ограничение на физические состояния!
  2. (Несколько связано с 1-м вопросом) Как условие Гупта-Блейлера точно фиксирует калибровку, поскольку это условие не на операторы, а на физические состояния? Должен ли я считать эти две вещи полностью эквивалентными?

Ответы (2)

Во-первых, вы должны исправить датчик, так как 4-потенциальный А мю будет иметь 4 степени свободы вместо 2 поляризации фотона.

В общем, есть 3 различных способа квантования теории, которая представляет ограничения первого класса (как в случае с электромагнитным полем). Кому не привыкли первоклассные ограничения, те ограничения С α который порождает калибровочные преобразования как дельта г А "=" { г А , ϵ α ( г ) С α ( г ) } где г А - координаты в фазовом пространстве и ϵ α являются калибровочными параметрами.

Теперь методы такие:

  1. метод редуцированного фазового пространства;
  2. метод Дирака-Гупта-Блейера;
  3. метод БРСТ.

Уменьшенное фазовое пространство:

Первый метод фиксирует одного представителя на калибровочной орбите через условие фиксирования калибровки Ф α ( г ) "=" 0 с г е т { С α , Ф β } | С "=" Ф "=" 0 ≠ 0 (это приводит к новому набору ограничений, которые теперь относятся к классу II, и может быть определена скобка Дирака как новая скобка Пуассона для квантования каноническим способом).

Дирак-Гупта-Блейер

Второй метод состоит в том, чтобы проквантовать все фазовое пространство, оставив в нем все нефизические переменные. Поскольку мы все квантуем, теперь мы должны потребовать, чтобы наши ограничения при воздействии на физические состояния давали ноль:

С ^ α ( г ^ ) | ψ п час ⟩ "=" 0
Это предпочтительный метод квантования электромагнитного поля, так как после квантования можно удалить все нефизические степени свободы.

БРСТ-лагранжиан

Этот способ более сложный, но, на мой взгляд, самый увлекательный. Идея здесь состоит в том, чтобы добавить новые степени свободы, называемые призраками (с грассмановской четностью, противоположной четности ограничений), и их импульсы (с той же четностью, что и у призраков) (чтобы понять эту процедуру, вам нужно будет знакомы с некоторыми основными понятиями суперсимметрии).

Теперь можно доказать, что существует БРСТ-заряд Вопрос с некоторыми свойствами, в частности нильпотентна ( Вопрос 2 "=" 0 ), который генерирует преобразование BRST.

В этом контексте физическое состояние определяется, если оно BRST-инвариантно, т.е.

Вопрос ^ | ψ п час ⟩ "=" 0
Но благодаря нильпотентности Вопрос , можно рассмотреть класс когомологий физического состояния, что означает, что два состояния эквивалентны, если они отличаются точным членом, т.е.
( | ф п час ⟩ ∼ | ψ п час ⟩ ) ⟺ ( | ф п час ⟩ "=" | ψ п час ⟩ + Вопрос ^ | х ⟩ )
для произвольного | х ⟩ .

Это кажется слишком сложной процедурой, но когда кто-то рассматривает функциональный интеграл со всеми этими новыми членами, у него есть свобода добавить к действию новый член, который является точным членом, чтобы сделать множество упрощений и прийти к правильный результат более сложным способом.

Я оставляю здесь ссылку (учебник), посвященную квантованию калибровочных теорий: Марк Хенно и Клаудио Тейтельбойм «Квантование калибровочных систем».

  1. Почему мы калибровочно фиксируем интеграл по путям в первую очередь? Если бы мы занимались калибровочной теорией решетки , нам не нужно было бы исправлять калибровку. Но в континуальном случае (гессе) действие для калибровочной теории имеет нулевые направления, которые приводят к бесконечным множителям при выполнении интеграла по путям по калибровочным орбитам. Чтобы избежать этого, мы калибруем-фиксировать.

  2. Условие Гупта – Блейлера само по себе не является условием фиксации калибровки, а скорее условием для определения физических состояний. В общем случае существуют также условия на наблюдаемую О ^ . Возможно, проще всего это увидеть в формулировке BRST . Физическое состояние | Ψ ⟩ и наблюдаемый О ^ оба должны быть BRST-инвариантными

    Вопрос ^ | Ψ ⟩   "="   0 и [ Вопрос ^ , О ^ ]   "="   0 ^ .

Попробую проверить формулу БРСТ, раньше о ней не слышал. Итак, что касается вашего первого пункта, вы говорите, что одна из причин исправления калибровки состоит в том, чтобы не «пересчитывать» физические состояния более одного раза при выполнении интеграла по пути? Итак, у вас нет формальной причины делать это в каноническом квантовании, за исключением случаев, когда вы обращаетесь к формулировке интеграла по путям?
Смысл фиксации калибровки в ковариантном квантовании электромагнитного поля
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v