Уравнения Швингера-Дайсона в кулоновской калибровке

Введение

Насколько я знаю (пожалуйста, поправьте меня, если что-то не так!) обычное описание теории возмущений в КЭД с кулоновской калибровкой выглядит следующим образом:

Во-первых, калибровочное поле фиксируется на

$$\nabla\cdot\vec A(x)=0\tag{1}$$ чтобы уравнения движения читались $$\begin{aligned} \nabla^2 A^0(x)&=J^0(x)\\ \partial^2\vec A(x)&=P(\nabla)\vec J(x) \end{aligned} \tag{2}$$ где $\partial^2=\partial_0^2-\nabla^2$и $$P^{ij}(\vec k)=\delta^{ij}-\frac{k^ik^j}{\vec k^2}\tag{3}$$ — проектор в поперечную часть течения.

Теперь уравнение движения для$A^0$не является динамическим, поэтому мы интегрируем это поле, устанавливая

$$A^0=\frac{1}{\nabla^2}J^0 \tag{4}$$ в лагранжиан, порождая известный нелокальный кулоновский член.

С другой стороны, истинное поле$\vec A$, а его пропагатор

$$\Delta^{ij}(k)=\frac{P^{ij}(\vec k)}{k^2+i\epsilon} \tag{5}$$

Важным моментом является следующее: нелокальный член для всех практических целей эквивалентен расширенному пропагатору$\Delta^{\mu\nu}$так, чтобы он совпадал с$\Delta^{ij}$на пространственные компоненты и

$$\Delta^{00}(\vec k)=\frac{1}{\vec k^2} \tag{6}$$

Можно показать, что этот расширенный пропагатор совпадает с ковариантным пропагатором в калибровке Фейнмана.$\xi=1$, с точностью до (нековариантных) членов, пропорциональных$k^\mu$, и поэтому теория все-таки ковариантна.

Хотя все еще верно, что$\Delta^{ij}=\langle A^i A^j\rangle$, теперь нет оператора, соответствующего$\Delta^{00}$.

---

Мои сомнения: пример

Все идет нормально (?). Теперь об отмене$k^\mu$могут быть доказаны в общих чертах благодаря тождествам Уорда-Такахаши, которые утверждают, что общие корреляционные функции равны нулю при сокращении с$k^\mu$(вид: они не обязательно должны быть равны нулю, но их форма сильно ограничена).

Но мне кажется, что эти тождества нельзя наивно использовать в кулоновской калибровке, потому что у нас нет$A^0$больше, и поэтому корреляционные функции не включают$\mu=0$компонент. Другими словами, истинные корреляционные функции

$$\langle 0|T\ A^i(x)A^j(y)\psi(z)\cdots|0\rangle \tag{7}$$ и с этим нельзя договориться $\partial_\mu$. Так что я думаю, мы все еще можем написать $$\partial_\mu\langle J^\mu \psi_1\psi_2\cdots\rangle=\text{contanct-term} \tag{8}$$ но в кулоновской калибровке нет простого соотношения между $\langle J^\mu\cdots\rangle$и $\langle A^\mu\cdots\rangle$. В обобщенных калибровках имеем $$\langle A^\mu \cdots\rangle=\frac{1}{\partial^2}\langle J^\mu\cdots\rangle+\text{contanct-term} \tag{9}$$ но это уже не так в кулоновской калибровке.

Или, говоря иначе: мы можем записать тождества WT с помощью$J^\mu$вместо$A^\mu$, но это не идет нам намного дальше: чтобы показать отмену$k^\mu$мы должны записать корреляционную функцию в терминах$A^\mu$. В ковариантных калибровках это легко: используя$-\partial^2 A^\mu=J^\mu$, мы можем заменить любой$A^\mu$в корреляционной функции с точностью до пропагатора$1/k^2$и срок контакта (из-за$T$символ). Но это уже неверно для кулоновской калибровки: во-первых,$\langle A^\mu\cdots\rangle$не определено для$\mu=0$.

Ведь уравнения$(8)$и$(9)$являются важным компонентом для доказательства того факта, что$k^\mu$члены не способствуют измеримым предсказаниям (например, см. книгу Средненицкого, главы 67-68; в частности, уравнения [67.9] - [67.12]).

---

Мой вопрос

Что можно сказать об уравнениях Швингера-Дайсона в кулоновской калибровке в более общем контексте? Они все еще действительны? мы можем использовать$A^\mu$, или мы должны ограничиться$A^i$? Как мы можем эффективно использовать тот факт, что нелокальное взаимодействие эквивалентно расширенному пропагатору? Как это реализуется на уровне уравнений ДС, а не на уровне диаграмм Фейнмана?

Насколько я знаю, для общих ковариантных калибровок уравнения DS работают просто отлично, и они справедливы для четырех компонентов$A^\mu$.

---

Дополнительная информация

Вайнберг в своей книге КТП, глава 9.6, вводит вспомогательное поле$A^0$и группирует его вместе со старым, физическим$A^i$таким образом, что$A^\mu$можно формально рассматривать как векторное поле, с$A^0$ведет себя так, как будто это его истинный временной компонент (см. стр. 415, в частности обсуждение ниже 9.6.6). Это в значительной степени то, что я хотел бы: я хочу использовать кулоновскую калибровку, но я хочу использовать$A^\mu$а также, чтобы иметь возможность использовать тождества WT или любое уравнение DS в целом. Но здесь Вайнберг использует интегралы по траекториям вместо операторов. Вздох.

Если кто-нибудь знает какой-нибудь хороший источник, где подробно обсуждается КЭД в кулоновской калибровке (без интегралов по путям!), это было бы очень и очень кстати.