Инвариантное количество от коммутаторов

Возможно, де Альфаро и др. отмечают, что

$$\left[G,\,\left(\begin{array}{c} D\\ H\\ K \end{array}\right)\right]=iM\left(\begin{array}{c} D\\ H\\ K \end{array}\right),\,M:=\left(\begin{array}{ccc} 0 & u & -w\\ -2w & -v & 0\\ 2u & 0 & v \end{array}\right).$$ С$M$вырождена и бесследна, ее собственные значения имеют вид$0,\,\pm\lambda$. Если мы диагонализируем, чтобы изолировать$0$собственное значение, произведение других должно быть однородным квадратичным, поэтому$\lambda$является квадратным корнем из него. И неудивительно, учитывая, как работают квадратные уравнения, что$\lambda=\sqrt{v^2-4uw}$.

Обратите внимание, что нам не нужно вычислять$M$осознать это, ни осознать, что это будет единичным ($G$дает очевидный элемент ядра) или бесследный (для этого просто требуются «самовзаимодействующие» коммутаторы$[H,\,D],\,[K,\,D]$иметь противоположные коэффициенты).