Глобальная конформная группа в двумерном евклидовом пространстве

Question

Глобальная конформная группа в двумерном евклидовом пространстве

Физика
топология
алгебра лжи
теория групп
математическая физика
конформная теория поля

Озз

Это довольно наивный вопрос, но мне просто интересно.

Я знаю, что локальная конформная алгебра двумерного евклидова пространства представляет собой прямую сумму

л_{0} \oplus \bar{л_{0}},

$\begin{equation} \cal{L}_0\oplus\overline{\cal{L}_0}, \end{equation}$ где

L_{0}

$\cal{L}_0$ и

\bar{L_{0}}

$\overline{\cal{L}_0}$ две независимые алгебры Витта. Соответствующая конформная группа

Z \otimes \bar{Z}

$Z\otimes\bar Z$ , где

Z

$Z$ состоит из всех голоморфных и

\bar{Z}

$\bar Z$ всех антиголоморфных преобразований координат.

Глобальная конформная алгебра порождается генераторами $\{L_{\pm 1}, L_0\}\cup\{\overline{L}_{\pm 1}, \overline{L}_0\}$ и, таким образом, является прямой суммой

сл (2, р) \oplus \bar{сл (2, р)} .

$\begin{equation} \text{sl}(2,\mathbb{R})\oplus\overline{\text{sl}(2,\mathbb{R})}. \end{equation}$ Я читал, что глобальная конформная группа — это группа

SL (2, C) / Z_{2}

$\text{SL}(2,\mathbb{C})/\mathbb{Z_2}$ , однако это не должна быть группа

СЛ (2, р) / Z_{2} \times \bar{СЛ (2, р) / Z_{2}} ?

$\begin{equation} \text{SL}(2,\mathbb{R})/\mathbb{Z_2}\hspace{0.2cm}\times\hspace{0.2cm}\overline{\text{SL}(2,\mathbb{R})/\mathbb{Z_2}}\qquad ? \end{equation}$

Ответы (2)

Глобальная конформная группа в двумерном евклидовом пространстве

Qмеханик · Answer 1

Это, например, объясняется в Ref. 1:

Конформные компактификации _ $1\!+\!1D$ Плоскость Минковского (М) и $2\!+\!0D$ Евклидова (Е) плоскость $^1$
$\begin{matrix} (1М) & \bar{р^{1, 1}} ≅ С^{1} \times С^{1} \end{matrix}$ $\overline{\mathbb{R}^{1,1}}~\cong~\mathbb{S}^1\times \mathbb{S}^1 \tag{1M}$ и $\begin{matrix} (1Э) & \bar{р^{2, 0}} ≅ С^{2}, \end{matrix}$ $\overline{\mathbb{R}^{2,0}}~\cong~\mathbb{S}^2, \tag{1E}$ соответственно.
(Глобальные) конформные группы
$\begin{matrix} (2М) & С о н ф (1, 1) ≅ О (2, 2; р) / {\pm 1_{4 \times 4}} \end{matrix}$ ${\rm Conf}(1,1)~\cong~O(2,2;\mathbb{R})/\{\pm {\bf 1}_{4\times 4}\}\tag{2M}$ и $\begin{matrix} (2Э) & С о н ф (2, 0) ≅ О (3, 1; р) / {\pm 1_{4 \times 4}}, \end{matrix}$ ${\rm Conf}(2,0)~\cong~O(3,1;\mathbb{R})/\{\pm {\bf 1}_{4\times 4}\}, \tag{2E}$ с 4 и 2 связными компонентами соответственно.
Соответствующие связные компоненты, связанные с тождеством,
$\begin{matrix} (3М) & \begin{aligned} {С о н ф}_{0} (1, 1) ≅ & С О^{+} (2, 2; р) / {\pm 1_{4 \times 4}} \\ ≅ & п С л (2, р) \times п С л (2, р) \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}{\rm Conf}_0(1,1)~\cong~&SO^+(2,2;\mathbb{R})/\{\pm {\bf 1}_{4\times 4}\}\cr ~\cong~& PSL(2,\mathbb{R})\times PSL(2,\mathbb{R}) \end{align}\tag{3M}$ и $\begin{matrix} (3Э) & \begin{aligned} {С о н ф}_{0} (2, 0) ≅ & С О^{+} (3, 1; р) \\ ≅ & п С л (2, С), \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} {\rm Conf}_0(2,0)~\cong~&SO^+(3,1;\mathbb{R})\cr ~\cong~& PSL(2,\mathbb{C}), \end{align}\tag{3E}$ соответственно. Здесь $PSL(2,\mathbb{F})\equiv SL(2,\mathbb{F})/\{\pm {\bf 1}_{2\times 2}\}$ . См. также соответствующий пост Phys.SE.

Использованная литература:

М. Шоттенлохер, Math Intro to CFT, Lecture Notes in Physics 759, 2008; Подразделы 1.4.2-3, разделы 2.3-5, 5.1-2.

--

$^1$ Более подробно конформная компактификация $1\!+\!1D$ самолет Минковского это

\begin{matrix} (4М) & \begin{aligned} \bar{р^{1, 1}} \\ ≅ (С^{1} \times С^{1}) / Z_{2} \\ ≅ {({Икс}^{0}, {Икс}^{1}) е р^{2} ∣ ({Икс}^{0}, {Икс}^{1}) \sim ({Икс}^{0} + 2, {Икс}^{1}) \sim ({Икс}^{0}, {Икс}^{1} + 2) \sim ({Икс}^{0} + 1, {Икс}^{1} + 1)} \\ \overset{{Икс}^{\pm} "=" \frac{1}{2} ({Икс}^{0} \pm {Икс}^{1})}{≅} {({Икс}^{+}, {Икс}^{-}) е р^{2} ∣ ({Икс}^{+}, {Икс}^{-}) \sim ({Икс}^{+} + 1, {Икс}^{-}) \sim ({Икс}^{+}, {Икс}^{-} + 1)} \\ ≅ С^{1} \times С^{1}, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}&\overline{\mathbb{R}^{1,1}}\cr &\cong(\mathbb{S}^1\times \mathbb{S}^1)/\mathbb{Z}_2 \cr &\cong\left\{(x^0,x^1)\in\mathbb{R}^2 \mid (x^0,x^1)\sim(x^0\!+\!2,x^1)\sim(x^0,x^1\!+\!2)\sim(x^0\!+\!1,x^1\!+\!1)\right\}\cr &\stackrel{x^{\pm}=\frac{1}{2}(x^0\pm x^1)}{\cong}\left\{(x^+,x^-)\in\mathbb{R}^2 \mid (x^+,x^-)\sim(x^+\!+\!1,x^-)\sim(x^+,x^-\!+\!1)\right\}\cr &\cong\mathbb{S}^1\times \mathbb{S}^1 ,\end{align}\tag{4M}$ с метрикой Минковского

\begin{matrix} (5М) & \begin{aligned} г "=" & г {Икс}^{0} ⊙ г {Икс}^{0} - г {Икс}^{1} ⊙ г {Икс}^{1} \\ \overset{{Икс}^{\pm} "=" \frac{1}{2} ({Икс}^{0} \pm {Икс}^{1})}{"="} & 4 г {Икс}^{+} ⊙ г {Икс}^{-} \end{aligned} . \end{matrix}

$\begin{align}\mathbb{g}~~~~~=~~~~~&\mathrm{d}x^0\odot\mathrm{d}x^0-\mathrm{d}x^1\odot\mathrm{d}x^1 \cr~\stackrel{x^{\pm}=\frac{1}{2}(x^0\pm x^1)}{=}&~4\mathrm{d}x^+\odot\mathrm{d}x^- \end{align}.\tag{5M}$

Сильвен Рибо · Answer 2

Комплексифицированная глобальная конформная алгебра действительно порождена (над $\mathbb{C}$ ) к $L_0,L_{\pm 1},\bar L_0, \bar L_{\pm 1}$ . Но настоящая глобальная конформная алгебра $sl(2,\mathbb{C})$ , с генераторами (более $\mathbb{R}$ )

л_{н} + {\bar{л}}_{н}, я (л_{н} - {\bar{л}}_{н})

$L_n+\bar L_n \quad ,\quad i(L_n-\bar L_n)$ Например,

i (L_{0} - {\bar{L}}_{0})

$i(L_0-\bar L_0)$ генерирует вращения

z \to e^{i θ} z

$z\to e^{i\theta} z$ , которые также действуют на

\bar{z}

$\bar z$ как

z \to e^{- i θ} \bar{z}

$z\to e^{-i\theta}\bar z$ . В более общем смысле глобальная конформная группа

S L (2, C) / Z_{2}

$SL(2,\mathbb{C})/\mathbb{Z}_2$ , который действует как

z \to \frac{a z + b}{c z + d}

$z\to \frac{az+b}{cz+d}$ с

a, b, c, d \in C

$a,b,c,d\in\mathbb{C}$ .

Глобальная конформная группа в двумерном евклидовом пространстве

Озз

Ответы (2)

Qмеханик

Сильвен Рибо

Является ли SU(2)×U(1)=U(2)SU(2)×U(1)=U(2)SU(2)\times U(1) = U(2)?

Разница между алгеброй бесконечно малых конформных преобразований и конформной алгеброй

Топологическое/геометрическое обоснование того, что CFT2CFT2\text{CFT}_2 является особым

Существует ли общая теорема о том, почему экспоненциальное отображение ограниченной группы Лоренца сюръективно?

Почему мы считаем алгебру Витта алгеброй симметрии классической конформной теории поля?

Скобка Ли для алгебры Ли SO(n,m)SO(n,m)SO(n,m)

Связь между динамической алгеброй и группой симметрии

Преобразование скалярного поля и генераторы

Групповая компактность Ли от образующих

Единственность выражения элемента группы Ли