Инвариантность фермионного действия относительно преобразований Лоренца

Предположим, у меня есть лагранжиан

л "=" 1 2 г а б ψ ¯ а Г к ∂ к ψ б
и я хочу показать его инвариантность относительно бесконечно малых преобразований Лоренца
дельта ψ а "=" − Λ м н Икс м ∂ н ψ а + 1 2 Λ м н Σ м н ψ а ,
дельта ψ ¯ а "=" − Λ м н Икс м ∂ н ψ ¯ а − 1 2 Λ м н ψ ¯ а Σ м н ,
где Λ м н являются компонентами бесконечно малого преобразования Лоренца и, следовательно, антисимметричны, и Σ м н являются образующими спинорного представления группы Лоренца. Я действую обычным путем и после некоторой алгебры получаю это
дельта л "=" − 1 2 г а б Λ м н [ Икс м ∂ н ψ ¯ а Г к ∂ к ψ б + Икс м ψ ¯ а Г к ∂ к ( ∂ н ψ б ) + ψ ¯ а Г м ∂ н ψ б ] .
Это нужно записать как полную производную, но я не могу этого добиться. Например, если я попытаюсь
∂ м ( Λ м н Икс н л ) ,
Я получаю первые два, но не третий срок. Кто-нибудь может сказать мне, как действовать?

Вы включили в свою алгебру преобразование ковариантной производной? ∂ мю → Λ мю ν ∂ ν
Привет СКФТ. Если вы еще этого не сделали, пожалуйста, найдите минутку, чтобы прочитать определение того, когда использовать тег « домашняя работа и упражнения» , и политику Phys.SE для проблем, подобных домашней работе.

Ответы (1)

В комментарии @Peter Anderson было указано, что вы забыли преобразование производной, которое в бесконечно малой форме должно читаться

дельта ∂ н "=" − г л м Λ м н ∂ л
которое следует из преобразования Лоренца
∂ н → г л м ( л − 1 ) м н ∂ л
(метрика предназначена для того, чтобы индексы согласовывались с выбором OP), который расширяется до
г л м ( л − 1 ) м н "=" дельта н л − г л м Λ м н + . . .
где я делаю вывод из других ваших законов преобразования, что вы применяете активные преобразования Лоренца, т.е. в символической перспективе
Икс → л Икс
с полем, преобразующимся как
ф ( Икс ) → М ф ( л − 1 Икс )
существование М представление группы Лоренца.

Если вы воспользуетесь этим, вы получите новый член в вариации вашего лагранжиана.

дельта л − 1 2 г а б Λ м н ψ ¯ а Г н г л м ∂ л ψ б
и этот новый термин с последним термином вашей вариации сохраняется
− 1 2 г а б Λ м н [ ψ ¯ а Г м ∂ н ψ б + ψ ¯ а Г н ∂ м ψ б ]
и поэтому у вас есть сокращение между антисимметричным тензором Λ м н с симметризованным количеством Г м ∂ н + Г н ∂ м и, следовательно, эти два термина исчезают. Затем у вас остаются первые два, которые, как вы уже сказали, можно переписать в полной производной форме.

Большое спасибо, что указали на это. Я принимал как должное, что дельта коммутирует с ∂ м , но в данном случае это не так.
Рад, что это помогло :) и да, в двух словах в этом случае это не коммутирует, поскольку производная не является скаляром Лоренца.
Инвариантность фермионного действия относительно преобразований Лоренца
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v