Почему мы не рассматриваем «самый общий» лагранжиан спина 1, а только частный случай?

Question

Почему мы не рассматриваем «самый общий» лагранжиан спина 1, а только частный случай?

Джек

Наиболее общий инвариант Лоренца, перенормируемый лагранжиан для поля со спином 1 $A_\mu$ читает

л_{Прока} "=" С_{1} \partial^{мю} А^{ν} \partial_{мю} А_{ν} + С_{2} \partial^{мю} А^{ν} \partial_{ν} А_{мю} + С_{3} А^{мю} А_{мю} + С_{4} \partial^{мю} А_{мю} .

$\begin{equation}\mathscr{L}_{\text{Proca}}= C_1 \partial^\mu A^\nu \partial_\mu A_\nu + C_2 \partial^\mu A^\nu \partial_\nu A_\mu + C_3 A^\mu A_\mu + C_4 \partial^\mu A_\mu.\end{equation}$

Однако в учебниках этот лагранжиан фигурирует только как очень частный случай.

л_{Прока} "=" \frac{1}{2} (\partial^{мю} А^{ν} \partial_{мю} А_{ν} - \partial^{мю} А^{ν} \partial_{ν} А_{мю}) + м^{2} А^{мю} А_{мю} .

$\begin{equation}\mathscr{L}_{\text{Proca}}= \frac{1}{2}(\partial^\mu A^\nu \partial_\mu A_\nu - \partial^\mu A^\nu \partial_\nu A_\mu ) + m^2 A^\mu A_\mu .\end{equation}$

Почему термин линейный по $A_\mu$ обычно игнорируется, т.е. почему $C_4=0$ обычно выбирают? Что изменится для $C_4 \neq 0$ ?
Что могло бы пойти не так или что изменилось бы, если бы мы не рассматривали очень частный случай $C_2/C_1=-\frac{1}{2}$ ?

gj255

Некоторые комментарии: 1) Обратите внимание, что

C_{4}

$C_4$ член не входит в уравнения движения — это полная производная — поэтому на классическом уровне он не имеет значения. 2) Зная, что мы хотим, чтобы этот лагранжиан описывал квантовую теорию поля, мы должны беспокоиться о числе степеней свободы, которые он содержит. Выбор

C_{1}

$C_1$ и

C_{2}

$C_2$ соответствующим образом, мы можем организовать

\partial_{μ} A^{μ} = 0

$\partial_\mu A^\mu = 0$ на корпусе; это важно, поскольку частица со спином 1 имеет не более трех степеней свободы. Дополнительную информацию см. в разделе 8.2 Шварца (QFT и Стандартная модель).

СлучайныйПреобразование Фурье

@gj255 gj255 хорошо, это определенно похоже на ответ для меня. Рассмотрите возможность размещения его в разделе ответов в какой-то момент.

грабить

@ gj255 Я также согласен с тем, что ваш пост больше похож на ответ, чем на комментарий.

Ответы (2)

Почему мы не рассматриваем «самый общий» лагранжиан спина 1, а только частный случай?

Некоторые комментарии: 1) Обратите внимание, что $C_4$ член не входит в уравнения движения — это полная производная — поэтому на классическом уровне он не имеет значения. 2) Зная, что мы хотим, чтобы этот лагранжиан описывал квантовую теорию поля, мы должны беспокоиться о числе степеней свободы, которые он содержит. Выбор $C_1$ и $C_2$ соответствующим образом, мы можем организовать $\partial_\mu A^\mu = 0$ на корпусе; это важно, поскольку частица со спином 1 имеет не более трех степеней свободы. Дополнительную информацию см. в разделе 8.2 Шварца (QFT и Стандартная модель).
@gj255 gj255 хорошо, это определенно похоже на ответ для меня. Рассмотрите возможность размещения его в разделе ответов в какой-то момент.
@ gj255 Я также согласен с тем, что ваш пост больше похож на ответ, чем на комментарий.

Пустота · Answer 1

Уравнения движения (и, следовательно, состояния свободных частиц) не изменятся, если мы добавим к лагранжиану член, который имеет вид полного расхождения вектора $\partial_\mu W^\mu$ . Рассмотрим $C_2$ термин и перепишем его с точностью до расходимости в виде:

\partial^{мю} А^{ν} \partial_{ν} А_{мю} "=" \partial^{мю} (А^{ν} \partial_{ν} А_{мю}) - А^{ν} \partial^{мю} \partial_{ν} А_{мю} "=" \partial^{мю} (А^{ν} \partial_{ν} А_{мю}) - \partial_{ν} (А^{ν} \partial^{мю} А_{мю}) - (\partial_{мю} А^{мю})^{2}

$\partial^\mu A^\nu \partial_\nu A_\mu = \partial^\mu(A^\nu \partial_\nu A_\mu) - A^\nu \partial^\mu \partial_\nu A_\mu = \partial^\mu(A^\nu \partial_\nu A_\mu) - \partial_\nu(A^\nu \partial^\mu A_\mu) - (\partial_\mu A^\mu)^2$ Теперь мы можем переопределить величины в вашем лагранжиане как

ϵ "=" с я г н (С_{1}), η "=" с я г н (С_{3}), ξ "=" \frac{| С_{1} |}{С_{1} + С_{2}}, м^{2} "=" | \frac{С_{4}}{С_{1}} |, В_{мю} "=" 2 \sqrt{| С_{1} |} А_{мю}, Ф_{мю ν} "=" В_{мю, ν} - В_{ν, мю}

$\epsilon = sign (C_1), \, \eta = sign(C_3), \xi = \frac{|C_1|}{C_1 + C_2}, m^2 = |\frac{C_4}{C_1}|, V_\mu = 2 \sqrt{|C_1|} A_\mu, F_{\mu\nu} = V_{\mu,\nu} - V_{\nu,\mu}$ чтобы получить

л_{п р о с а} "=" - \frac{1}{4} ϵ Ф^{мю ν} Ф_{мю ν} + \frac{м^{2}}{2} η В^{мю} В_{мю} - \frac{1}{2 ξ} (\partial^{мю} В_{мю})^{2}

$\mathcal{L}_\mathrm{Proca} = -\frac{1}{4}\epsilon F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} + \frac{m^2}{2} \eta V^\mu V_\mu - \frac{1}{2 \xi} (\partial^\mu V_\mu)^2$ В качестве упражнения можно вычислить уравнения движения этого лагранжиана, разложить линейные уравнения на поперечное решение

V_{T}^{μ}

$V^\mu_\mathrm{T}$ который имеет

\partial_{μ} V^{μ} = 0

$\partial_\mu V^\mu = 0$ , и продольные решения

V_{L}^{μ}

$V^\mu_\mathrm{L}$ которые имеют ненулевую расходимость, и вы получите отдельные уравнения движения в виде

(◻ + м^{2}) В_{Т}^{мю} "=" 0

$(\Box + m^2) V^\mu_\mathrm{T} = 0$

(◻ + η ξ м^{2}) В_{л}^{мю} "=" 0

$(\Box + \eta \xi m^2) V^\mu_\mathrm{L} = 0$ Т.е. поперечные решения представляют собой поле Прока масс

m

$m$ . Дальнейший анализ показывает, что

V_{L}^{μ}

$V^\mu_\mathrm{L}$ на самом деле это поле массы со спином 0

\sqrt{η ξ} m

$\sqrt{\eta \xi} m$ ,

V_{L}^{μ} \sim \partial^{μ} ϕ

$V^\mu_\mathrm{L} \sim \partial^\mu \phi$ . Это также объясняет, почему мы пишем кинетический член Прока как

\sim F^{μ ν} F_{μ ν}

$\sim F^{\mu\nu} F_{\mu\nu}$ , так как включает только поперечную кинетику и

F_{L}^{μ ν} \sim \partial_{μ} \partial_{ν} ϕ - \partial_{ν} \partial_{μ} ϕ = 0

$F^{\mu\nu}_\mathrm{L} \sim \partial_\mu \partial_\nu \phi - \partial_\nu \partial_\mu \phi = 0$ .

Лимит $\xi \to \infty$ делает эту скалярную моду бесконечно тяжелой и, следовательно, неактивной, но в некоторых подходах к квантованию поля Прока, $\xi$ остается конечным, выполняется каноническое квантование, и только после этого вы берете $\xi \to \infty$ предел.

Вы уверены в $V_L^\mu \sim \partial^\mu \phi$ ? Я спрашиваю, потому что его кинетический член в лагранжиане выглядит равным $4^{\mathrm{th}}$ порядок, который считается нефизическим из-за ряда теорем, связанных с положительностью гамильтониана.
Прямо сейчас я не совсем уверен, как записать приведенный выше лагранжиан в виде суммы канонического лагранжиана Прока и лагранжиана скалярного поля. Однако утверждение, в котором я уверен и которое легко проверить, таково: общее решение для $V^\mu$ можно записать как $V^\mu = V^\mu_\mathrm{T} + \partial^\mu \phi$ где $V^\mu_\mathrm{T}$ было бы «обычным» общим трансверсальным решением уравнений Прока-поля и $\phi$ является общим решением уравнения скалярного поля с массой $\sqrt{\eta \xi}m$ .
Член с C2 представляет собой полную дивергенцию, но приводит к другому уравнению движения. С C1=1 и C2=C3=C4=0 вы получаете волновое уравнение, с C1=-C2=1 и C3=C4=0 вы получаете уравнения Максвелла, которые, кстати, сводятся к волновому уравнению, если применяется условие Лоренца.
@my2cts Нет, это не полное расхождение, см. первую строку, это $-(\partial_\mu A^\mu)^2$ плюс члены, которые являются расхождением. Я согласен с остальными вашими утверждениями.

Матье Кристиан · Answer 2

Я склонен полагать, что в вопросе есть ошибка. Можешь проверить?

Поскольку у вас есть коэффициент 1/2 перед массовым членом, вы имеете дело со сложным случаем поля.

Итак, как в этом случае у вас может быть коэффициент 1/2 перед кинематическим членом?

Кроме того, ваш знак кажется в неправильном направлении.

Вы действительно видели книгу, содержащую вашу формулу? Можешь дать ссылку?

Пожалуйста, найдите ниже моей демонстрации, что есть проблема.

Вы видите проблему в моем выводе? (исхожу из формулы википедии)

Почему мы не рассматриваем «самый общий» лагранжиан спина 1, а только частный случай?

Джек

gj255

СлучайныйПреобразование Фурье

грабить

Ответы (2)

Пустота

Шон Э. Лейк

Пустота

my2cts

Пустота

Матье Кристиан

Квантование заряда Лоренца

Как узнать, что лагранжиан имеет симметрию SU(2)×SU(2)SU(2)×SU(2)SU(2)\times SU(2)?

Доказательство лоренц-инвариантности лоренц-инвариантного элемента фазового пространства

Уравнение Эйлера-Лагранжа в специальной теории относительности

Почему лагранжевы плотности и действия в квантовой теории поля всегда лоренц-инвариантны?

Неинвариантность Пуанкаре в реальном мире и теории поля

Почему теория лоренц-инвариантна, если лагранжиан лоренц-инвариантен?

Представление группы Лоренца

Какое калибровочное поле можно построить из лоренцевой симметрии?

Активное преобразование и пассивное преобразование скалярного поля [дубликат]