Как получить алгебру симметрии?

Дело в том, что симметрии Киллинга касаются только геометрии. Вместо этого заряды относятся к конкретной (классической или квантовой) физической системе, которую вы рассматриваете, которая также содержит гораздо больше информации, особенно негеометрической природы. Уже в классической гамильтоновой формулировке есть место для центральных зарядов, когда вы представляете алгебру Ли симметрий Киллинга, используя скобки Ли.$[\cdot, \cdot]_L$в терминах алгебры Ли гамильтоновых зарядов со скобкой Ли, заданной скобкой Пуассона$\{\cdot, \cdot\}$.

С одной стороны у вас есть физические заряды$Q$полученный с помощью конкретной (гамильтоновой) теории, с другой стороны, у вас есть фиксированные геометрические поля Киллинга$X$, независимые от физической системы, потому что они общие со всеми физическими системами.

Теория говорит, что

а) существует линейное отображение$Q \to X_Q$, удовлетворяющий

$$[X_Q,X_{Q'}]_L= X_{\{Q,Q'\}}\:.\tag{1}$$ Однако,

(б) отображение не инъективно, так как

$$X_Q = X_{Q+c}\tag{2}$$ для каждой константы $c$.

Если$X_{Q_k}$,$k=1,\ldots, n$является базой алгебры Ли симметрий Киллинга,

$$[X_{Q_i},X_{Q_j}]_L = C_{ij}^k X_{Q_k}= X_{C_{ij}^kQ_k}$$ где я использовал соглашение о суммировании по повторяющимся индексам. Сравнивая с (1) $$X_{C_{ij}^kQ_k - \{Q_i,Q_j\}}=0$$ Однако из (2) следует, что могут существовать антисимметричные константы $c_{ij}$, знаменитые центральные заряды такие, что $$C_{ij}^kQ_k - \{Q_i,Q_j\} = -c_{ij}$$ и поэтому $$\{Q_i,Q_j\} = C_{ij}^kQ_k + c_{ij}$$ Если алгебра Ли удовлетворяет некоторым когомологическим условиям, можно переопределить заряды с помощью добавленных констант, $$Q_{k} \to Q_k' = Q_k + f_k$$ для того, чтобы, с одной стороны, связанные поля Killing оставались фиксированными, с другой стороны $$\{Q'_i,Q'_j\} = C_{ij}^kQ'_k$$ (достаточно того, что $C_{ij}^k f_k= c_{ij}$).

Картина на квантовом уровне по существу идентична, только заряды заменяются как минимум (анти)симметричными операторами, определенными на общей плотной области, и скобка Пуассона заменяется на коммутатор операторов (здесь много тонкостей при попытке поднять представление алгебры к унитарному представлению группы симметрии, но сейчас я не настаиваю на этом). Снова могут появиться центральные заряды, потому что квантование касается гамильтоновых зарядов, а не группы Ли изометрий Киллинга.

Обычно центральные заряды несут некоторую физическую информацию, которую геометрия не может охватить, потому что не может различать различные физические системы, живущие на одном фоне. Типичным примером является масса системы относительно галилеевой симметрии .

Одной из однопараметрических подгрупп группы Ли Галилея является буст, который изменяет скорости каждой части системы, добавляя общую скорость. Однако в гамильтоновой/квантовой формулировке переменными являются положение и импульс, а импульс связан со скоростью посредством массы$m$. Это различно для разных систем и не выбирается геометрией. Место, где находится эта негеометрическая информация, — просто центральный заряд.

$$\{K_i,P_j\}= m\delta_{ij}\:,$$

$K_i$являющийся генератором повышающего преобразования по$i$-я ось, которую необходимо сравнить с соответствующей ей геометрической

$$[X_{K_i},X_{P_j}]_L= 0\:.$$

На квантовую версию влияет тот же центральный заряд, природа которого, однако, ясна.