Вращение в высших измерениях

В мире трех пространственных измерений плюс время каждый атом вращается вокруг линии, оси вращения.

В мире Н пространственные размеры, где Н больше 3, должен ли каждый атом вращаться, и если да, то вращается ли он вокруг линии, плоскости или подпространства меньшего числа измерений?

Для явной параметризации Н -мерные вращения, см.: math.stackexchange.com/q/1364495

Ответы (2)

  1. Можно показать, что общее вращение р е С О ( Н ) в Н ≥ 2 пространственные измерения могут быть составлены

    р   "="   р 1 ∘ … ∘ р к
    не более к "=" [ Н 2 ] попарно коммутирующие вращения
    р 1 , … , р к   е   С О ( Н )
    что каждый оставляет инвариантным подпространство коразмерности 2 (хотя и не обязательно одно и то же подпространство).

  2. Более явно, учитывая вращение р е С О ( Н ) существует ортонормированный базис ( е 1 , … , е Н ) [что может зависеть от р ] такое, что вращение р представляется блочно-диагональной матрицей вида

    ( потому что ⁡ θ 1 грех ⁡ θ 1 − грех ⁡ θ 1 потому что ⁡ θ 1 потому что ⁡ θ 2 грех ⁡ θ 2 − грех ⁡ θ 2 потому что ⁡ θ 2 ⋱ потому что ⁡ θ к грех ⁡ θ к − грех ⁡ θ к потому что ⁡ θ к 1 1 ⋱ 1 ) .

  3. Вращение р гарантирует, что оставит инвариантным подпространство размерности 1 (= линия, проходящая через начало координат), только если размерность пространства Н странно.

В 2d матрица вращения имеет вид

р ( θ ) "=" ( потому что ⁡ θ − грех ⁡ θ грех ⁡ θ потому что ⁡ θ ) "=" ( с ( θ ) − с ( θ ) с ( θ ) с ( θ ) )
и вращает вектор в плоскости .

В 3D матрицу вращения можно записать как произведение

р 12 ( ψ ) р 13 ( θ ) р 12 ( ф )
где
р 12 ( ψ ) "=" ( с ( ψ ) − с ( ψ ) 0 с ( ψ ) с ( ψ ) 0 0 0 1 ) р 13 ( θ ) "=" ( с ( ψ ) 0 − с ( ψ ) 0 1 0 с ( ψ ) 0 с ( ψ ) )
оставляя одну ось неизменной. Эту ось можно определить по строке или столбцу, содержащему 0 s везде, кроме одной записи.

В SO(4) можно записать матрицу вращения в виде последовательности или р я Дж матрицы. р 12 будет иметь форму

р 12 ( ψ ) "=" ( с ( ψ ) − с ( ψ ) 0 0 с ( ψ ) с ( ψ ) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 )
и поэтому оставляет двумерное подпространство инвариантным. Матрица SO (4) может быть записана в факторизованной форме
р 34 ( β 1 ) р 23 ( β 2 ) р 12 ( β 3 ) р 34 ( β 4 ) р 23 ( β 5 ) р 34 ( β 6 )
ограничивая реальными значениями записи С U ( 4 ) матрица факторизована, как здесь . Это ни в коем случае не единственная возможная факторизация.

Очевидно, SO(5)-вращение можно записать в терминах матриц, оставляющих инвариантным трехмерное подпространство и т. д.

Как насчет двойного вращения в 4D? Одновременные вращения в двух ортогональных плоскостях, пересекающихся в точке в начале координат (заменяя единицы в вашей матрице синусами и косинусами).
@safesphere Я не уверен, что понимаю ваш вопрос. Это по-прежнему 4d-вращение, но очевидно, что его можно реализовать как последовательность двух коммутирующих SO(2)-вращений: р 12 р 34 . Брать р 23 ( 0 ) "=" 1 и т. д.
В качестве пояснения того, что я имею в виду, см. math.stackexchange.com/q/2543122 , а также см. Двойное вращение в разделе «Геометрия» здесь en.wikipedia.org/wiki/…
@safesphere Мне действительно нужно больше кофе... Я все еще не понимаю, о чем вы спрашиваете, но ссылку я с интересом прочитаю позже.
Нет проблем :) Чтобы еще раз уточнить, в 3D объект может вращаться только вокруг одной оси. Если мы попытаемся вращать объект вокруг двух осей одновременно, это только повернет ось вращения, но она останется одной, и вращение по-прежнему будет иметь одну скорость. Однако в 4D объект может вращаться в одной плоскости (одиночное вращение), а также в другой ортогональной плоскости одновременно (двойное вращение) независимо и с разной скоростью.
@safesphere позвольте мне (в конце концов) прочитать материал, на который вы ссылаетесь.
@safesphere В принципе «жесткий объект» можно вращать любое количество раз, и произведение связанных матриц вращения всегда является матрицей вращения (которая не искажает расстояния и формы «жесткого объекта»). Эта матрица вращения не описывает, сколько шагов и какие оси используются, она просто связывает конечное состояние с начальным.
@ Whit3rd Whit3rd Верно, но это представление ограничено тем, что вращение рассматривается как единовременный результат некоторых неописанных шагов. Этот вопрос касался вращения не как разового результата, а как непрерывного процесса, а также о геометрическом смысле этого процесса. Таким образом, вращение в 2D всегда происходит в одной и той же плоскости, в 3D — в какой-либо одной плоскости, а в 4D — может быть в одной, а может быть в двух плоскостях одновременно, которые ортогональны друг другу и пересекаются друг с другом. центр вращения.
@ZeroTheHero Итак ... «в конечном итоге» до или после конца года? :) В вашем ответе говорится, что в более высоких измерениях вращение оставляет к − 2 подпространственный инвариант. Это верно только для одного вращения в одной плоскости. Однако в более высоких измерениях вы получаете несколько вращений в разных ортогональных плоскостях одновременно. Итак, как заявил Qmechanic, в нечетных измерениях вы получаете только один инвариант оси 1D, в то время как в четных измерениях вы обычно получаете только один инвариант нулевой точки D. Таким образом, более высокие измерения переводятся в более сложные вращения, в то время как инвариантность остается точкой или линией.
@safesphere Пн! Я забыл об этом...
@ZeroTheHero Вращение всегда происходит в 2D-плоскости. Итак, в 1D — нет вращения, но у вас есть одна инвариантная ось: в 2D — один поворот, оси нет; в 3D — один оборот плюс одна ось; в 4D - два оборота (2Dx2=4D), без оси; в 5D — два вращения плюс одна ось и так далее. Матрица имеет диагональные пары синусов и косинусов, за исключением единицы в нечетных измерениях в правом нижнем углу, как в вашем трехмерном примере (ось). Однако в вашем 4D примере вообще не должно быть единиц, только синусы и косинусы (без существования).
Вращение в высших измерениях
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v