Искривленное пространство-время VS изменение координат в пространстве Минковского

Гравитация — это калибровочная теория. Калибровочные преобразования — это диффеоморфизмы (изменения координат), описываемые вашими уравнениями. Следовательно, пространство всех возможных метрик (пространство модулей) есть частное пространства всех$g_{\mu \nu}$над этими изменениями координат.

Так что ваши$g_{\mu \nu}$можно установить на$\eta_{\mu \nu}$некоторым преобразованием координат. Это означает, что они принадлежат одному и тому же классу эквивалентности .

С другой стороны,$q_{\mu \nu}$принадлежит другому классу эквивалентности . Это можно увидеть, вычислив тензор кривизны Римана. Для любого$g_{\mu \nu}$он должен быть равен нулю, но не для$q_{\mu \nu}$.

Вопрос OP (v2), кажется, частично вызван неточным использованием слова local:

1. Если уравнение ОП. (1) выполняется локально в окрестности $U\subseteq M$, то существуют координаты в$U$так что метрика$g_{\mu\nu}$переходит в форму Минковского в$U$, а затем (Леви-Чивита) тензор кривизны Римана $R^{\sigma}{}_{\mu\nu\lambda}$исчезает в$U$, или, что то же самое, многообразие$M$по определению плоский$U$. Последствия также сохраняются в противоположном направлении, после, возможно, перехода к меньшему району.$V\subseteq U$.

2. Для произвольной точки$p\in M$на лоренцевом многообразии $(M,g)$, существуют римановы нормальные координаты в достаточно малой координатной окрестности$U\subseteq M$точки$p$так что метрика$g_{\mu\nu}$становится на форму Минковского с исчезающими (Леви-Чивита) символами Кристоффеля$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$ локально в точку $p$(но не обязательно в проколотом районе$U\backslash\{p\}$и многообразие$M$не обязательно плоский$U$). В частности, тензор кривизны Римана (Леви-Чивита)$R^{\sigma}{}_{\mu\nu\lambda}$не обязательно исчезает в$p$.