Объекты в физике такими, какими их увидел бы математик

Общая теория относительности — это математическая теория, обобщающая специальную теорию относительности и механику. Оказывается, гравитационные эффекты можно рассматривать как неинерционные силы благодаря одному из принципов, лежащих в основе этой теории, который также считается наиболее важным, а именно принципу эквивалентности, постулируемому Эйнштейном. То, что метрика пространства-времени должна быть локально плоской, т. е. минковской, является следствием этого принципа. Фактически, принцип эквивалентности утверждает, что в свободно падающей системе отсчета, т. е. в системе отсчета, где нет сил инерции, действуют законы специальной теории относительности. Поскольку вы математик, мне нет необходимости напоминать, что если многообразие имеет нулевой тензор кривизны,$g$, в точности соответствуют метрике Минковского$\eta = \operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)$.

Метрика$g$на коллекторе$M$описывающее пространство-время не дано априори, а определяется распределением материи. Теперь ваш вопрос об объектах общей теории относительности. Эти объекты — всевозможные геометрические объекты, которые можно построить на (гладком) многообразии. Таким образом, у вас будут тензоры любых рангов и даже спиноры любого ранга. То, что делает их физическими объектами, — это всего лишь их интерпретация. Уравнения поля Эйнштейна

куда$\text{Ric}\in T^*M\otimes T^*M$тензор Риччи,$g\in T^*M\otimes T^*M$метрика на$M$, а также$T\in T^*M\otimes T^*M$тензор энергетического напряжения дает вам метрику$g$с точки зрения энерго-вещественного распределения$T$на$M$, это просто плотность тензора на$M$.

Математическая задача изучения геодезических на многообразии$M$описывается метрикой$g$является эквивалентом физической задачи определения движения частицы, свободно падающей в гравитационном поле, порожденном распределением материи$T$таким образом, что результирующая метрика$g$.

Одним из самых эффектных предсказаний общей теории относительности является существование так называемых черных дыр. Опять же, вы находите эти объекты, изучая математические свойства решений уравнений Эйнштейна, а затем даете им физическую интерпретацию. В физике бывают сложные ситуации, когда нельзя основывать свои теории на наблюдениях и экспериментах. Поэтому вы должны начать с математической теории и развивать ее как можно дальше. Каждый полученный результат затем физически интерпретируется. Это вполне соответствует общей теории относительности (см., например, проблему обнаружения гравитационных волн или наблюдения голых сингулярностей).

Этот набор параметров обычно называют полями материи . Они вносят вклад в ОТО в «правой части» уравнения.

Поскольку вы упомянули, что вы математик, позвольте мне быть немного более техническим и многословным. Пространство -время задается лоренцевым многообразием$(M,g)$. Поля материи следует рассматривать как совокупность$\{\Phi_A\}_{A\in \mathcal{A}}$куда$\mathcal{A}$представляет собой некоторый набор индексов, с каждым отдельным$\Phi_A$являющийся участком некоторого пучка волокон$(E_A,M,\pi_A)$над$M$. (Существуют более общие возможности для полей материи, но давайте сейчас остановимся на них.) Например, скалярное поле задается тривиальным комплексным линейным расслоением над$M$, в то время как обычное описание максвелловской теории электромагнетизма допускает формулировку поля (векторного потенциала) как сечения кокасательного расслоения$T^*M$.

Динамика полей обычно задается некоторыми уравнениями движения, а их вклад в гравитацию принимается за их вклад в тензор энергии-импульса

таким образом, чтобы условие

куда$\nabla$является ковариантной производной метрики$g$удовлетворен. (Это связано с тем, что тождество должно выполняться для левой части уравнения Эйнштейна в соответствии с сокращенным тождеством Бьянки.)

Обратите внимание, что общая теория относительности сама по себе является теорией гравитации. На самом деле это не указывает, что такое поля вопроса. Требуется только, чтобы поля материи, когда они существуют, имели динамику, подчиняющуюся закону сохранения, заданному условием дивергенции тензора энергии-импульса. Чтобы получить реальную физическую модель мира, вам придется придумать некоторые правила, управляющие поведением полей материи. В современной физике это обычно осуществляется через какой-то принцип действия , поскольку уравнения Эйлера-Лагранжа будут автоматически совместимы с приведенным выше условием дивергенции, если вы возьмете$T_{\mu\nu}$быть энергией напряжения Эйнштейна-Гильберта, произведенной из принципа действия.

В ОТО «объекты» (какими бы они ни были для вашей задачи) должны быть сопоставлены с тензором энергии-импульса, который уравнения поля ОТО связывают с кривизной многообразия. Это отображение на самом деле не является частью ОТО, но оно, безусловно, является частью повседневного применения ОТО, хотя оно будет различаться в зависимости от проблемы и того, какой уровень описания физических объектов используется.

Один из вводных физических объектов, который, насколько мне известно, часто используется в качестве примера во вводных текстах по ОТО, — это «пыль», цитируя Шютца: ««пыль» определяется как набор частиц, все из которых покоятся в некотором один кадр Лоренца». Вы определяете плотность частиц в объеме и составляющую потока импульса$\alpha$частиц поперек каждой перпендикулярной поверхности постоянной$\beta$в пространстве-времени является одной из компонент тензора энергии-импульса$T^{\alpha\beta}$. Так$T^{00}$- компоненты энергии частиц пыли на поверхности постоянного времени, то есть плотность энергии.

Оттуда вы можете продолжать добавлять более сложные объекты, такие как жидкости или электромагнитные поля и т. Д., Пока вы сопоставляете их с тензором энергии-импульса.

Я бы сказал, что с точки зрения общей теории относительности «объект» — довольно бессодержательный термин. На самом деле мы наблюдаем некоторое возмущение тензора энергии-импульса. Уравнения Эйнштейна (без космологической постоянной)$G_{\mu\nu}= \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$, который определяет связь между кривизной Эйнштейна и, следовательно, метрикой, и тензором энергии-импульса в данной точке. Я думаю, что этот тензор - это то, что вы ищете, поскольку он определяет плотность энергии, поток энергии, напряжение сдвига и давление.

«Объекты», которые изучаются в релятивистской физике, такие же, как и то, что люди изучают в нерелятивистской физике. Рассмотрим несколько примеров:

• Если вас интересует релятивистская механика, вы можете рассмотреть протяженные объекты, такие как стержни длиной L, и вычислить моменты инерции. (Здесь объект - стержень)

• Если вы изучаете квантовую механику, то вы будете изучать уравнение Дирака, а не уравнение Шрёденгера (здесь изучаемые объекты — электроны).

• Если вы изучаете статистическую механику, вы можете изучать уравнение состояния, используя газ фотонов, а не какой-то нерелятивистский газ. (нет, если здесь применяется объект, если мы не говорим о сборе самих фотонов)

Основные вещи, которые изучаются, — это все те же вещи, которые вы изучаете в нерелятивистской физике. Там особо ничего не меняется. Что действительно меняется, так это геометрия лежащих в основе многообразий, в которых живут объекты исследования. Обычно это добавляет две вещи, независимо от того, говорите ли вы о специальной или общей теории относительности:

• Дополнительные члены в потенциалах, используемые для описания взаимодействий между «объектами».

• Дополнительные члены в уравнениях движения, возникающие из-за геометрии пространства-времени, в котором живут объекты.

Общая теория относительности по-прежнему остается физикой, поэтому сначала обратитесь к физике, чтобы понять, что вы пытаетесь изучать. Задаваемые вопросы все те же. Я знаю, что иногда трудно понять, что когда вы открываете книгу, в которой говорится об общей теории относительности, и обсуждение вращается вокруг связей, кривизны, внешней алгебры и т. д., но объекты изучения все еще существуют, как вы правильно утверждаете. :) Я предлагаю открыть книгу по базовой физике, а затем попытаться найти релятивистские аналоги того, что вы видите в более продвинутых книгах, таких как «Гравитация» Мизнера, Торна и Уилера или «Общая теория относительности» Роберта Уолда. У них обоих очень физический подход к GR, и вам может быть легче добраться до «объектов» таким образом.

Классическая ОТО может изучать только объекты, моделируемые тензорными полями (на лоренцевом многообразии пространства-времени). Метрика, конечно, сама является тензорным полем, и Законы Природы должны принять форму приравнивания двух тензорных полей с одинаковыми ковариационными свойствами , т. е. одного типа. Было бы довольно глупо, если бы сама метрика не использовалась в уравнении, так что это накладывает некоторые ограничения на поиск...

Если материя рассматривается как своего рода непрерывное распределение, подобное плотности, ее можно хорошо смоделировать с помощью тензора энергии-импульса, упомянутого другими авторами. Гидродинамика тоже может быть выполнена довольно хорошо. Электромагнетизм, ну меньше, но кое-что можно сделать. Чтобы ответить на ваш вопрос очень прямо, то единственными параметрами являются координаты пространства и времени, а единственными объектами являются эти тензорные поля, и это ограничивает ОТО, так что она не может хорошо справляться с квантовыми эффектами, такими как волны или спин. Классические частицы можно рассматривать, допуская, что плотность материи, рассматриваемой как своего рода «флюид» (я думаю, что это лучшее слово, чем порошок или пыль) массы-энергии, имеет некоторые особенности, которых определенно нет .получить любой собственный параметр. В этом отношении она очень похожа на ньютоновскую и эйлерову динамику и гидродинамику.