Использование тензорных произведений в нотации скобок

Question

Использование тензорных произведений в нотации скобок

Инвенетис

Я пытаюсь найти ожидаемое значение оператора $\hat W(x_1,x_2)=\hat x_1 \hat x_2$ относительно собственных состояний системы, состоящей из двух одномерных квантовых гармонических осцилляторов. Собственное состояние всей системы будет $|n_1n_2\rangle=|n_1\rangle \otimes|n_2\rangle$ , с $|n_1\rangle$ , $|n_2\rangle$ собственные состояния каждого отдельного осциллятора, поэтому математическое ожидание будет

((| н_{1} ⟩ \otimes | н_{2} ⟩)^{†}, \hat{Вт} (| н_{1} ⟩ \otimes | н_{2} ⟩))

$\left((|n_1\rangle \otimes|n_2\rangle )^\dagger,\hat W(|n_1\rangle \otimes|n_2\rangle) \right)$ В связи с этим у меня возникло два вопроса:

Является ли бюстгальтер, соответствующий кету, образованному тензорным произведением, просто тензорным произведением бюстгальтеров, $\left(|n_1 n_2\rangle \right)^\dagger=\left(|n_1\rangle \otimes|n_2\rangle \right)^\dagger=\langle n_1| \otimes \langle n_2| =\langle n_1 n_2|$ ?
Ассоциативны ли операторы, соответствующие разным гильбертовым пространствам, относительно тензорного произведения различных состояний? То есть, $\hat x_1 \hat x_2 (|n_1\rangle \otimes|n_2\rangle)=\hat x_1 |n_1\rangle \otimes\hat x_2 |n_2\rangle?$
Как внутренние произведения ведут себя по отношению к тензорным произведениям? Было бы просто $\big(\langle n_1| \otimes \langle n_2|\big) \big(\hat x_1 |n_1\rangle \otimes\hat x_2 |n_2\rangle \big)= \langle n_1|\hat x_1 |n_1\rangle\otimes\ \langle n_2|\hat x_2 |n_2\rangle$ ?

Фробениус

Не строго связано: общий спин двух частиц со спином 1/2 .

Ответы (2)

Использование тензорных произведений в нотации скобок

Не строго связано: общий спин двух частиц со спином 1/2 .

Тобиас Фюнке · Answer 1

Ответ на ваш первый вопрос - да, см., например, уравнения $(1.32)-(1.36)$ в этих конспектах лекций .

Чтобы ответить на второй вопрос, рассмотрим двудольное гильбертово пространство $\mathscr{H} \equiv \mathscr{H}_1 \otimes \mathscr{H}_2$ и разреши $o_1$ и $o_2$ обозначают операторы на $\mathscr{H}_1$ и $\mathscr{H}_2$ , соответственно. Тогда мы можем определить действие $o_1$ и $o_2$ на $\mathscr{H}$ к

\begin{aligned} О_{1} & \equiv о_{1} \otimes я_{2} \\ О_{2} & \equiv я_{1} \otimes о_{2}, \end{aligned}

$\begin{align} O_1 &\equiv o_1 \otimes \mathbb{I}_2 \\ O_2 &\equiv \mathbb{I}_1 \otimes o_2 \quad , \end{align}$ где

I_{i}

$\mathbb{I}_i$ для

i = 1, 2

$i=1,2$ обозначает тождественный оператор на

H_{i}

$\mathscr{H}_i$ .

Теперь пусть $|\varphi_i\rangle \in \mathscr{H}_i$ и $\mathscr{H} \ni|\varphi\rangle \equiv |\varphi_1\rangle \otimes |\varphi_2\rangle$ . Мы вычисляем

\begin{aligned} О_{1} | ф ⟩ & "=" о_{1} | ф_{1} ⟩ \otimes я_{2} | ф_{2} ⟩ \\ О_{2} | ф ⟩ & "=" я_{1} | ф_{1} ⟩ \otimes о_{2} | ф_{2} ⟩ . \end{aligned}

$\begin{align} O_1 |\varphi\rangle &= o_1 |\varphi_1\rangle \otimes \mathbb{I}_2 |\varphi_2\rangle\\ O_2 |\varphi\rangle &= \mathbb{I}_1 |\varphi_1\rangle \otimes o_2 |\varphi_2\rangle \quad . \end{align}$ Следовательно, последовательно применяя оба оператора, получаем:

О_{1} О_{2} | ф ⟩ "=" О_{2} О_{1} | ф ⟩ "=" о_{1} | ф_{1} ⟩ \otimes о_{2} | ф_{2} ⟩ .

$O_1 \, O_2 |\varphi\rangle= O_2\, O_1 |\varphi\rangle = o_1 |\varphi_1\rangle \otimes o_2 |\varphi_2\rangle \quad .$

Кроме того, для $O\equiv o_1 \otimes o_2$ у нас есть $O^\dagger = o_1^\dagger \otimes o_2^\dagger$ .

Что касается третьего вопроса, обратите внимание, что для внутреннего продукта на $\mathscr{H}$ он считает, что

(ф_{1} \otimes ф_{2}, ф_{1} \otimes ф_{2})_{ЧАС} "=" (ф_{1}, ф_{1})_{{ЧАС}_{1}} (ф_{2}, ф_{2})_{{ЧАС}_{2}} .

$(\varphi_1 \otimes \varphi_2 , \phi_1 \otimes \phi_2)_{\mathscr{H}} = (\varphi_1,\phi_1)_{\mathscr{H}_1}\,(\varphi_2,\phi_2)_{\mathscr{H}_2} \quad .$ Определение

ϕ_{i} \equiv o_{i} φ_{i}

$\phi_i \equiv o_i \varphi_i$ дает выражение для ожидаемого значения

O_{1} O_{2}

$O_1\,O_2$ .

Более подробное объяснение дано в приведенных выше ссылках на лекции, уравнениях $(1.26)-(1.31)$ или также в ссылке на Википедию, указанной в другом ответе.

Как мы могли бы оправдать это $\mathbb{I}_2$ не действует на $|\varphi_1\rangle$ ?
@Invenietis Ну, его действие на элементы $\mathscr{H}_1$ в общем-то даже не определено. Как пример, если $\mathrm{dim}\, \mathscr{H}_1 = 2$ и $\mathrm{dim} \,\mathscr{H}_2 = 3$ , то, грубо говоря, $|\varphi_1\rangle$ вектор с $2$ записи, но $\mathbb{I}_2$ это $3\times 3$ матрица. И что-то вроде $\mathbb{I}_2 |\varphi_1\rangle$ не является четко определенным. В общем, как указывает другой ответ, у нас есть $o_1 \otimes o_2 \left( |\varphi_1\rangle \otimes |\varphi_2\rangle\right) = o_1|\varphi_1\rangle \otimes o_2|\varphi_2\rangle$ .
@Invenietis Один обозначает , а не «оправдывает»; это то, что означают индексы . Понимая это, можно просто пропустить символы тензорного произведения, поскольку они неявны!
Я забыл спросить о поведении тензорного произведения по отношению к внутреннему произведению... Не могли бы вы добавить объяснение?
Хорошо спасибо. Итак, поскольку $(\varphi_1,\phi_1)_{\mathscr{H}_1}\,$ и $(\varphi_2,\phi_2)_{\mathscr{H}_2}$ являются скалярами, произведение $\otimes$ между ними был бы обычный продукт, не так ли?

Филиппо · Answer 2

Что касается вашего второго вопроса: да, и это на самом деле определяющее свойство $\hat x_1 \hat x_2$ :

Позволять $V,V',W,W'$ быть векторными пространствами над полем $F$ (например, $V'$ и $W'$ могут быть гильбертовыми пространствами с векторными подпространствами $V$ и $W$ ). Если

А : В \to В^{'}

$A\colon V\to V'$ и

Б : Вт \to {Вт}^{'}

$B\colon W\to W'$ являются линейными функциями, функция

\begin{aligned} В \times Вт & \to В^{'} \otimes {Вт}^{'} \\ (в, ж) & \mapsto (А в) \otimes (Б ж) \end{aligned}

$\begin{align} V\times W&\to V'\otimes W'\\ (v,w)&\mapsto(Av)\otimes(Bw) \end{align}$ билинейна и в силу универсального свойства тензорного произведения расширяется до единственной линейной функции

А \otimes Б : В \otimes Вт \to В^{'} \otimes {Вт}^{'}

$A\otimes B\colon V\otimes W\to V'\otimes W'$ удовлетворяющий

(А \otimes Б) (в \otimes ж) "=" (А в) \otimes (Б ж)

$(A\otimes B)(v\otimes w)=(Av)\otimes(Bw)$ для всех

(v, w) \in V \times W

$(v,w)\in V\times W$ .

Предупреждение : если $H_1$ и $H_2$ являются гильбертовыми пространствами, векторным пространством $H_1\otimes H_2$ вместе с уникальным внутренним продуктом, удовлетворяющим

⟨ в_{1} \otimes в_{2} | ж_{1} \otimes ж_{2} ⟩ "=" ⟨ в_{1} | ж_{1} ⟩ ⟨ в_{2} | ж_{2} ⟩

$\langle v_1\otimes v_2|w_1\otimes w_2\rangle=\langle v_1|w_1\rangle\langle v_2|w_2\rangle$ не обязательно является новым гильбертовым пространством, поэтому мы обычно рассматриваем тензорное произведение Гильберта

H_{1} \hat{\otimes} H_{2}

$H_1\hat{\otimes} H_2$ .

Использование тензорных произведений в нотации скобок

Инвенетис

Фробениус

Ответы (2)

Тобиас Фюнке

Инвенетис

Тобиас Фюнке

Космас Захос

Инвенетис

Тобиас Фюнке

Инвенетис

Тобиас Фюнке

Филиппо

Как получить матричную форму потенциального оператора в нотации Дирака в позиционном представлении?

Нужны ли обозначения Дирака?

Может ли оператор Гамильтона действовать на бюстгальтер, если он когда-то действовал на кет?

Понимание нотации скобок

Странное обозначение бюстгальтера

Задача с матрицами в обозначениях Дирака

Как транспонированное сопряжение оператора действует на бра и кет в контексте операторов уничтожения и возведения?

Разница между |ψ⟩⟨ψ||ψ⟩⟨ψ| \влево | \psi \right > \left < \psi \right| и ⟨ψ|ψ⟩⟨ψ|ψ⟩ \left < \psi \right | \левый . \пси \право>

Существование сопряжения антилинейного оператора, обращение времени

Квантовая теория поля: числовой оператор N^=a†aN^=a†a\hat{N} = a^\dagger a и обозначение скобок