Понимание нотации скобок

Комплексное гильбертово пространство$\mathcal{H}$это просто векторное пространство над$\mathbb{C}$оснащен (полным) внутренним продуктом. Чтобы помочь вашей интуиции, может быть полезно вспомнить, что каждое конечномерное комплексное гильбертово пространство изоморфно$\mathbb{C}^n$для некоторых$n$.

Теперь предположим$\mathcal{H}$конечна с размерностью$n$. Выберите основу и обозначьте ее элементы символом$1$,$\cdots$,$n$. Тогда в обозначениях Дирака$|n\rangle$является элементом вашего базиса (и, в более общем смысле, элементом$\mathcal{H}$) пока$n$это просто ярлык. Общий элемент$|\psi\rangle$из$\mathcal{H}$можно написать

В обозначениях Дирака внутренний продукт обозначается как$\langle \cdot | \cdot \rangle$, следовательно$\langle i | \psi\rangle$просто обозначает внутренний продукт$|i\rangle$с$|\psi\rangle$, а именно$\alpha_i$. В более общем случае, если$|\psi\rangle$и$|\phi\rangle$обозначают два элемента$\mathcal{H}$с$|\phi\rangle = \sum_i \beta_i |i\rangle$, затем$\langle \psi|\phi\rangle$обозначает их внутренний продукт, а именно$\sum_i \alpha_i^*\beta_i$.

Кроме того, как векторное пространство$\mathcal{H}$также имеет двойное пространство$\mathcal{H}^{\dagger}$. Обратите внимание, что$\mathcal{H}^{\dagger}$пространство линейных отображений из$\mathcal{H}$к$\mathbb{C}$. Существует однозначное соответствие между$\mathcal{H}$и$\mathcal{H}^{\dagger}$которые можно определить с помощью внутреннего продукта. В обозначениях Дирака образ$|\psi\rangle$под этим соответствием обозначается$\langle \psi|$, так что$\langle \psi|$применительно к$|\phi\rangle$внутренний продукт$\langle \psi|\phi\rangle$.

Наконец, оператор$\hat{A}$просто линейная карта$\mathcal{H}\rightarrow \mathcal{H}$по штатам$|\psi\rangle$. Учитывая состояние$|\psi\rangle$,$\hat{A}|\psi\rangle$просто еще одно состояние, т.е. еще один элемент$\mathcal{H}$. Затем,$\langle \psi|\hat{A}|\psi\rangle$просто внутренний продукт$|\psi\rangle$с$\hat{A}|\psi\rangle$. Таким образом, ожидаемая стоимость$\hat{A}$в штате$|\psi\rangle$определено.

Как только вы поймете дискретный случай , когда ваш базис конечен или, по крайней мере, счетен, вы можете попытаться понять случай, когда ваш базис больше не является счетным. В этом случае этикетка$\psi$становится непрерывным и$\sum$заменяется интегралом$\int$, но концептуально ситуация не изменилась, вы по-прежнему имеете дело со сложным векторным пространством, снабженным скалярным произведением.

Действительно, если элементы$|r\rangle$где$r$теперь непрерывная метка, обозначающая базовые элементы вашего пространства, затем общий элемент$|\psi\rangle$имеет форму$\int dr\, \psi(r)|r\rangle$где$\psi(r)$просто обозначает внутренний продукт$\langle r|\psi\rangle$.

$\int dr\, |r\rangle \langle r|$это просто обозначение оператора, который отображает$|\psi\rangle$к$\int dr\, |r\rangle \langle r|\psi\rangle$. Как указано выше$\int dr\, |r\rangle \langle r|\psi\rangle$просто$\int dr\, \psi(r)|r\rangle$, а именно$|\psi\rangle$сам. Другими словами,$\int dr\, |r\rangle \langle r|$это просто тождественный оператор$I$.

Как следствие,$I$применительно к$|\psi\rangle$является$|\psi\rangle$, но его также можно записать как$\int dr\, |r\rangle \langle r|\psi\rangle$, отсюда и первое равенство из трех равенств, найденных в вашей книге и упомянутых в вашем вопросе. Второе и третье равенства выражают одну и ту же идею, только используя разные основы (например, основу импульса во втором равенстве вместо основы позиции в первом равенстве).

$\langle \cdot | \cdot \rangle$является внутренним продуктом.

Сначала переименуем$r$как$r_0$и давайте думать об этом как о фиксированной константе (например, один метр или что вы хотите). Когда вы пишете$\langle r_0 | \psi \rangle$, вы берете внутренний продукт между вашим состоянием$| \psi \rangle$и$\langle r_0 |$. Но$| r_0 \rangle$является элементом основы$\{| r \rangle :$ $r \in \mathbb{R}, r>0\}$, и поэтому мы также можем сказать, что мы проецируем ваше состояние (вектор) на базовый элемент$| r_0 \rangle$. В евклидовом пространстве это эквивалентно проецированию вашего вектора на ось x, y или z (или любое другое направление). Полная основа нашего гильбертова пространства — это множество всех состояний положения на положительном (я предполагаю,$r$обозначает радиальное направление) реальная линия, поэтому основание ДЕЙСТВИТЕЛЬНО большое, такое же большое, как весь набор действительных чисел. Для каждого отдельного$r_j$, вы можете думать о$|r_j \rangle$как ось в евклидовом пространстве. Но евклидово пространство имеет только 3 измерения, то есть три оси, тогда как наше гильбертово пространство имеет бесконечное количество осей.

В евклидовом пространстве любые векторы можно разложить на компоненты базиса. Раньше, учитывая (ортонормированный) базис$x_0,x_1,x_2$, мы можем написать наш вектор$x$как$x= x \cdot x_0 \cdot e_0 + x \cdot x_1 \cdot e_1+ x \cdot x_2 \cdot e_2 = \sum_{i=0}^2 x_i\cdot x \cdot e_i$где$e_i$находится в направленном векторе$x_i$. Это эквивалентно утверждению, что вектор представляет собой сумму всех его компонентов (проекций) во всех основных направлениях. С$\langle r_j| r_i \rangle =0$если$r_i\neq r_j$, и$\langle r_j| r_j \rangle =1$,$|r\rangle$является ортонормированным базисом.

Таким образом, для нашего гильбертова пространства имеем$|\psi \rangle = \sum_{r\in\mathbb{R^+}} \langle r \cdot| \psi \rangle |r\rangle = \sum_{r\in\mathbb{R^+}} |r\rangle\langle r| \psi \rangle$где у нас есть прямая переписка$e_i ->|r\rangle , x_i -> \langle r|$и$x -> |\psi \rangle$.

Поскольку мы суммируем по всей положительной действительной линии, мы можем преобразовать это суммирование в интеграл и, таким образом, мы получаем$|\psi \rangle = \int |r\rangle\langle r| \psi \rangle dr$

Но$|\psi \rangle$не зависит от r, поэтому мы можем вынести его из интеграла, что дает$\int |r\rangle\langle r|dr$должно быть тождеством, поскольку приведенное выше уравнение верно для всех$|\psi\rangle$.

Теперь мы можем заняться математическим ожиданием оператора.$\langle \psi | \hat{A} | \psi \rangle = \langle \psi | \hat{A} \int |x\rangle\langle x|dx| \psi \rangle = \int \langle \psi | \hat{A} |x\rangle\langle x|\psi\rangle dx = \int \langle \psi | \hat{A} |x\rangle\Psi(x) dx$

Теперь, если вы умны, вы используете такую ​​основу, что$\hat{A}$является диагональным в этом базисе, и в этом случае у вас есть$\hat{A}|x\rangle=|x\rangle A(x)$, где$A(x)$является собственным значением собственного вектора$|x\rangle$из$\hat{A}$. (Для позиционного оператора$\hat{x}$ $\hat{x}|x\rangle=|x\rangle x$. Собственно так и лежит в основе$|x\rangle$определяется как базис, который диагонализует оператор положения.)

Таким образом, у нас есть$\langle \psi | \hat{A} | \psi \rangle = \int \langle \psi | x\rangle A(x) \Psi(x) dx=\int \Psi(x)^* A(x) \Psi(x) dx$

Обратите внимание, что, как и в евклидовом пространстве, существует более одного ортонормированного базиса, поэтому вы можете спроецировать свое состояние$|\psi\rangle$в другую основу, отличную от основы позиции. Например, вы можете выразить свою волновую функцию$\Psi$в пространство положения или импульса, которые просто соответствуют проецированию вашего состояния$|\psi \rangle$в базис положения или импульса соответственно. Вы проецируете свое состояние на ту основу, которая наиболее полезна для вас. Например, вы проецируете на базис импульса, если хотите узнать средний импульс вашей частицы, потому что тогда оператор импульса является диагональным, и поэтому ожидаемое значение импульса вашей частицы легко вычислить.$\langle\hat{p}\rangle = \int p|\Psi(p)|^2 dp$

В другом примере вы можете выразить любое спиновое состояние компонентами z, x или y состояния, которые являются эквивалентно действительными основаниями.