Существование сопряжения антилинейного оператора, обращение времени

Question

Существование сопряжения антилинейного оператора, обращение времени

LYg

Оператор обращения времени $T$ является антиунитарным оператором, и я видел $T^\dagger$ во многих местах
(например, когда какой-то парень делает "обращение времени" $THT^\dagger$ ),
но интересно, существует ли корректно определенный сопряженный для антилинейного оператора?
Предположим, у нас есть антилинейный оператор $A$ такой, что

А (с_{1} | ψ_{1} ⟩ + с_{2} | ψ_{2} ⟩) "=" с_{1}^{*} А | ψ_{1} ⟩ + с_{2}^{*} А | ψ_{2} ⟩

$A(c_1|\psi_1\rangle+c_2|\psi_2\rangle)=c_1^*A|\psi_1\rangle+c_2^*A|\psi_2\rangle$ для любых двух кетов

| ψ_{1} ⟩, | ψ_{2} ⟩

$|\psi_1\rangle,|\psi_2\rangle$ и любые два комплексных числа

c_{1}^{*}, c_{2}^{*}

$c_1^*, c_2^*$ .

Ниже приведена причина, по которой я сомневаюсь в существовании

A^{†}

$A^\dagger$ :
Давайте посчитаем

⟨ ϕ | c A^{†} | ψ ⟩

$\langle \phi|cA^\dagger|\psi\rangle$ .
С одной стороны, очевидно

⟨ ф | с А^{†} | ψ ⟩ "=" с ⟨ ф | А^{†} | ψ ⟩ .

$\langle \phi|cA^\dagger|\psi\rangle=c\langle \phi|A^\dagger|\psi\rangle.$ Но с другой стороны,

⟨ ф | с А^{†} | ψ ⟩ "=" ⟨ ψ | А с^{*} | ф ⟩^{*} "=" ⟨ ψ | с А | ф ⟩^{*} "=" с^{*} ⟨ ψ | А | ф ⟩^{*} "=" с^{*} ⟨ ф | А^{†} | ψ ⟩,

c ⟨ ϕ | A^{†} | ψ ⟩ = c^{*} ⟨ ϕ | A^{†} | ψ ⟩

$c\langle \phi|A^\dagger|\psi\rangle=c^*\langle \phi|A^\dagger|\psi\rangle$ , почти всегда ложно, и, таким образом, противоречие!

Так где же я ошибся, если действительно

A^{†}

$A^\dagger$ существует?

Любош Мотл

Ваша ошибка в том, что вы ввели неоднозначный символ

c A^{†}

$c A^\dagger$ но вы не указали четко, умножается ли этот оператор сначала на

c

$c$ а затем действует

A^{†}

$A^\dagger$ , или наоборот. Вместо этого вы использовали обе интерпретации символа на двух «взаимно противоречащих» линиях, поэтому, конечно, вы получили противоречие. Здесь нет никакого реального противоречия с комплексным сопряжением. Если

A

$A$ является антилинейным и

A^{†}

$A^\dagger$ существует, конечно, что

A^{†}

$A^\dagger$ также является антилинейным (так же, как эрмитово сопряжение линейного оператора остается линейным).

Любош Мотл

Позвольте мне быть более конкретным. Если вы определили

c A^{†}

$cA^\dagger$ быть оператором, который сначала действует

A^{†}

$A^\dagger$ на кет, а затем умножается на

c

$c$ , то его действие на бюстгальтеры должно быть таким же, как сначала

A^{†}

$A^\dagger$ слева, а затем умножается на

c

$c$ . Вы использовали противоположное правило во второй строке, и поэтому вы поставили неправильную дополнительную звезду выше.

c

$c$ как только вы обменялись

c

$c$ и

A^{†}

$A^\dagger$ .

Инкнис Мрси

« A  c * ⁠ = c  A » не является допустимым идентификатором. См. также физику.stackexchange.com/q/43069 .

Ответы (1)

Существование сопряжения антилинейного оператора, обращение времени

Ваша ошибка в том, что вы ввели неоднозначный символ $c A^\dagger$ но вы не указали четко, умножается ли этот оператор сначала на $c$ а затем действует $A^\dagger$ , или наоборот. Вместо этого вы использовали обе интерпретации символа на двух «взаимно противоречащих» линиях, поэтому, конечно, вы получили противоречие. Здесь нет никакого реального противоречия с комплексным сопряжением. Если $A$ является антилинейным и $A^\dagger$ существует, конечно, что $A^\dagger$ также является антилинейным (так же, как эрмитово сопряжение линейного оператора остается линейным).
Позвольте мне быть более конкретным. Если вы определили $cA^\dagger$ быть оператором, который сначала действует $A^\dagger$ на кет, а затем умножается на $c$ , то его действие на бюстгальтеры должно быть таким же, как сначала $A^\dagger$ слева, а затем умножается на $c$ . Вы использовали противоположное правило во второй строке, и поэтому вы поставили неправильную дополнительную звезду выше. $c$ как только вы обменялись $c$ и $A^\dagger$ .
« A  c * ⁠ = c  A » не является допустимым идентификатором. См. также физику.stackexchange.com/q/43069 .

Qмеханик · Answer 1

I) Во-первых, никогда не следует использовать нотацию скобок Дирака (в ее предельной версии, когда оператор действует справа на кетах и слева на брах) для рассмотрения определения сопряженности , так как эта запись предназначена для сделать свойство смежности похожим на математическую тривиальность, которой оно не является. См. также этот пост Phys.SE.

II) Вопрос ОП (v1) о существовании сопряженного антилинейного оператора - интересный математический вопрос, который редко рассматривается в учебниках, потому что они обычно начинают с предположения, что операторы $\mathbb{C}$ -линейный.

III) Напомним теперь математическое определение сопряженного линейного оператора. Пусть есть гильбертово пространство $H$ над полем $\mathbb{F}$ , которые в принципе могут быть как действительными, так и комплексными числами, $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ или $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ . Конечно, в квантовой механике. $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ . В сложном случае мы будем использовать стандартное соглашение физиков о том, что внутренний продукт/секвилинеарная форма $\langle \cdot | \cdot \rangle$ сопряжено $\mathbb{C}$ -линейный в первой записи, и $\mathbb{C}$ -линейный во второй записи.

Напомним теорему Рисса о представлении : для каждого непрерывного $\mathbb{F}$ -линейный функционал $f: H \to \mathbb{F}$ существует единственный вектор $u\in H$ такой, что

\begin{matrix} (1) & ф (\cdot) "=" ⟨ ты | \cdot ⟩ . \end{matrix}

$\tag{1} f(\cdot)~=~\langle u | \cdot \rangle.$

Позволять $A:H\to H$ быть непрерывным $^1$ $\mathbb{F}$ -линейный оператор. Позволять $v\in H$ быть вектором. Рассмотрим непрерывный $\mathbb{F}$ -линейный функционал

\begin{matrix} (2) & ф (\cdot) "=" ⟨ в | А (\cdot) ⟩ . \end{matrix}

$\tag{2} f(\cdot)~=~\langle v | A(\cdot) \rangle.$

Значение $A^{\dagger}v\in H$ сопряженного оператора $A^{\dagger}$ на векторе $v\in H$ по определению уникальный вектор $u\in H$ , гарантированный теоремой Рисса о представлении, такой, что

\begin{matrix} (3) & ф (\cdot) "=" ⟨ ты | \cdot ⟩ . \end{matrix}

$\tag{3} f(\cdot)~=~\langle u | \cdot \rangle.$

Другими словами,

\begin{matrix} (4) & ⟨ А^{†} в | ж ⟩ "=" ⟨ ты | ж ⟩ "=" ф (ж) "=" ⟨ в | А ж ⟩ . \end{matrix}

$\tag{4} \langle A^{\dagger}v | w \rangle~=~\langle u | w \rangle~=~f(w)=\langle v | Aw \rangle.$

Несложно проверить, что сопряженный оператор $A^{\dagger}:H\to H$ определенный таким образом, становится $\mathbb{F}$ -линейный оператор.

IV) Наконец, вернемся к вопросу ОП и рассмотрим определение сопряженного антилинейного оператора. Определение будет основываться на комплексной версии теоремы Рисса о представлении. Позволять $H$ задано комплексное гильбертово пространство, и пусть $A:H\to H$ — антилинейный непрерывный оператор. В этом случае приведенные выше уравнения (2) и (4) следует заменить на

\begin{matrix} (2') & ф (\cdot) "=" \bar{⟨ в | А (\cdot) ⟩}, \end{matrix}

$\tag{2'} f(\cdot)~=~\overline{\langle v | A(\cdot) \rangle},$

и

\begin{matrix} (4') & ⟨ А^{†} в | ж ⟩ "=" ⟨ ты | ж ⟩ "=" ф (ж) "=" \bar{⟨ в | А ж ⟩}, \end{matrix}

$\tag{4'} \langle A^{\dagger}v | w \rangle~=~\langle u | w \rangle~=~f(w)=\overline{\langle v | Aw \rangle},$

соответственно. Обратите внимание, что $f$ это $\mathbb{C}$ -линейный функционал.

Несложно проверить, что сопряженный оператор $A^{\dagger}:H\to H$ определенный таким образом оператор также становится антилинейным.

--

$^{1}$ В этом ответе мы проигнорируем тонкости с разрывными/неограниченными операторами , доменами, самосопряженными расширениями и т.д.

Существование сопряжения антилинейного оператора, обращение времени

LYg

Любош Мотл

Любош Мотл

Инкнис Мрси

Ответы (1)

Qмеханик

Как получить матричную форму потенциального оператора в нотации Дирака в позиционном представлении?

Нужны ли обозначения Дирака?

Может ли оператор Гамильтона действовать на бюстгальтер, если он когда-то действовал на кет?

Понимание нотации скобок

Странное обозначение бюстгальтера

Использование тензорных произведений в нотации скобок

Задача с матрицами в обозначениях Дирака

Как транспонированное сопряжение оператора действует на бра и кет в контексте операторов уничтожения и возведения?

Почему обращение времени представлено антилинейным и антиунитарным оператором? [дубликат]

Разница между |ψ⟩⟨ψ||ψ⟩⟨ψ| \влево | \psi \right > \left < \psi \right| и ⟨ψ|ψ⟩⟨ψ|ψ⟩ \left < \psi \right | \левый . \пси \право>