Разница между |ψ⟩⟨ψ||ψ⟩⟨ψ| \влево | \psi \right > \left < \psi \right| и ⟨ψ|ψ⟩⟨ψ|ψ⟩ \left < \psi \right | \левый . \пси \право>

В общем случае уравнение$|\psi\rangle\langle\psi|=1$ложно: вам нужно суммировать по полному набору состояний:

$$\sum_i |\psi_i\rangle\langle\psi_i|=1$$

Например, удобный набор полных состояний задается обычным позиционным базисом,$|\psi_i\rangle=|q\rangle$, где сумма на самом деле является интегралом:

$$\int\mathrm dq\ |q\rangle\langle q|=1$$

С другой стороны, ваше второе уравнение в порядке, а первое нет: оно должно читаться

$$|\psi\rangle\langle\psi|=\left[\overbrace{\int\mathrm dq\ |q\rangle\langle q|}^1\right]|\psi\rangle\langle\psi|\left[\overbrace{\int\mathrm dq'\ |q'\rangle\langle q'|}^1\right]=\int\mathrm dq\,\mathrm dq'\ \psi(q)\psi^*(q')\ |q\rangle\langle q'|$$ который не может быть дополнительно упрощен. Простой способ понять, почему ваше второе уравнение в целом неверно, состоит в том, чтобы заметить, что $|\psi\rangle$является вектором, и поэтому $|\psi\rangle\langle\psi|$является оператором. С другой стороны, правая часть вашего второго уравнения является скаляром, и поэтому уравнение не может выполняться.

---

Есть определенная аналогия (которая мне не очень нравится), которая может помочь вам понять, что происходит. Если мы думаем о конечномерном векторном пространстве, то существует определенное соответствие между кетами и векторами-столбцами, бра и векторами-строками:

$$|\psi\rangle\sim\begin{pmatrix}\psi_1\\ \psi_2\\ \psi_3\end{pmatrix}\qquad\qquad\langle\psi|\sim\begin{pmatrix}\psi_1^*&\psi_2^*&\psi_3^*\end{pmatrix}$$

В этом случае,

$$\langle\psi|\psi\rangle=\begin{pmatrix}\psi_1^*&\psi_2^*&\psi_3^*\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\psi_1\\ \psi_2\\ \psi_3\end{pmatrix}=|\psi_1|^2+|\psi_2|^2+|\psi_3|^2\in\mathbb R$$

С другой стороны,

$$|\psi\rangle\langle|\psi|\sim\begin{pmatrix}\psi_1\\ \psi_2\\ \psi_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\psi_1^*&\psi_2^*&\psi_3^*\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} |\psi_1|^2&\psi_1\psi_2^*&\psi_1\psi_3^*\\ \psi_2\psi_1^*&|\psi_2|^2&\psi_2\psi_3^*\\ \psi_3\psi_1^*&\psi_3\psi_2^*&|\psi_3|^2 \end{pmatrix}$$ является матрицей, и поэтому просто нет смысла заявлять $|\psi\rangle\langle\psi|=\langle\psi|\psi\rangle$: обе стороны — это разные объекты, и они живут в разных пространствах.