Использование теоремы Нётер для получения константы движения из векторного поля Киллинга

Обратите внимание, что я буду использовать не знак суммирования, а соглашение суммирования Эйнштейна: повторяющиеся пары индексов (верхний и нижний) суммируются по$\sum_{a} A_{a} B^{a} \equiv A_{a}B^{a} = A_{c}B^{c}$

Учитывая лагранжиан:

$$L = G_{ab} \dot q^a\dot q^b\tag{1}$$ И следующее уравнение, включающее вектор Киллинга$v^a$ $$\Big( \partial_a G_{bc}v^a + G_{ba}\partial_c v^a + G_{ca}\partial_b v^a \Big) = 0.\tag{2}$$ Докажи это $$Q_v = v^a \dot q^b G_{a b}\tag{3}$$ есть постоянная движения. СОВЕТ : Вспомните теорему Нётер.

Что я наделал:

Теорема Нётер утверждает, что если$q^a \to q^a + \epsilon k^a$является симметрией лагранжиана, то$p_a k^a$есть постоянная движения.

• Далее я обосновываю трансляционную симметрию. Это не связано с моей проблемой с этой проблемой, поэтому вы можете просто пропустить ее, если хотите.

---

Займемся переводом.

Во-первых, мы должны показать, что трансляция является симметрией лагранжиана. Если взять производную по времени с обеих сторон$q^a \to q^a + \epsilon k^a$, мы получаем$\dot q^a \to \dot q^a$.

Обосновано, что$\dot q^a$термины не меняются при переводе.

Но мы еще не закончили, потому что$G_{ab}$зависит от$q$. Но верно следующее:

$$G_{ab}(q^c) = G_{ab}(q^c + \epsilon k^c)$$

Таким образом, перевод оставляет наш лагранжев инвариант

---

Итак, как только мы показали, что перевод оставляет наш лагранжев инвариант, мы должны доказать это (используя теорему Нётер):

$$Q_v = p_k \Big( \frac{\partial (q^k)^{\lambda}}{\partial \lambda}\Big)_{\lambda = 0} = v^a \dot q^b G_{a b} \ \ \ \ (1)$$

я умею считать$p_k$

$$p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot q^k} = G_{ab} \delta_k^a \dot q^b + G_{ab} \delta_k^b \dot q^a = G_{kb} \dot q^b + G_{ak} \dot q^a = 2 G_{ak} \dot q^a \ \ \ \ (2)$$

Моя проблема в том, как справиться с $\Big( \frac{\partial (q^k)^{\lambda}}{\partial \lambda}\Big)_{\lambda = 0}$

Я знаю это:

$$\sum_{j=1}^{k} \Big[ \frac{\partial (q_j^k)^{\lambda}}{\partial \lambda}\Big] = \delta_{j}^{k}$$

Итак, я рассчитал:

$$\frac{\partial (q^a)^{\lambda}}{\partial \lambda} |_{\lambda=0} = 1$$

$$\frac{\partial (q^b)^{\lambda}}{\partial \lambda} |_{\lambda=0} = 0$$

$$\frac{\partial (q^c)^{\lambda}}{\partial \lambda} |_{\lambda=0} = 0$$

Я также использовал эту идею с$q^b$и$q^c$и получили как консервативную величину:

$$Q = \dot q^b\Big( G_{ab} + G_{bb} + G_{bc} \Big)$$

Что неправильно...

Кроме того, я не использовал$\Big( \partial_a G_{bc}v^a + G_{ba}\partial_c v^a + G_{ca}\partial_b v^a \Big) = 0$

Так что я определенно что-то упускаю.