Нелинейное уравнение Клейна-Гордона

я знаю, что уравнение инвариантно при переводе, но что именно $J_{k}$являются ?

Рассмотрим тензор энергии напряжения $T^{a}_b = \frac{\partial {\cal L}}{\partial \frac{\partial u}{\partial x^a}}\frac{\partial u}{\partial x^b} - \delta^a_b {\cal L}$, то есть сохраняется по теореме Нётер в силу трансляционной инвариантности. $J_a = \int_{\mathbb R^3} T^0_a d^3x$, $a=0,1,2,3$.

я понимаю это спасибо :D но как я мог дойти до финального уравнения $(\Pi_{k} )_{t}+divJ =0$

Извините, есть некоторая путаница с моими и вашими обозначениями. Отныне я использую только те обозначения, которые вы приняли в своем вопросе. С использованием $T_b^a$как определено выше: $\Pi_k = T^0_k$и $j^i_k = T^i_k$, $i=1,2,3$. Теорема Нётер доказывает, что $\sum_{a=0}^3\partial_a T^a_k=0$. Переделывая его с помощью ваших обозначений, вы обнаружите: $(\Pi_k)_t + div(j_k)=0$. Я не понимаю вашу последнюю личность, которую вы написали в своем вопросе. Это не согласуется с предыдущими тождествами.