Поляков Из Намбу-Гото Напрямую, для струнных?

Question

Поляков Из Намбу-Гото Напрямую, для струнных?

действие
Физика
струнная теория
лагранж-формализм
вариационный принцип

больбтеппа

Следующий вывод для классической релятивистской точечной частицы "Поляковской" формы действия из "Намбу-Гото" формы действия, без всяких ухищрений - никаких уравнений движения или множителей Лагранжа, просто прямая система равенств , как следует:

С "=" - м \int г с "=" - м \int \sqrt{- г_{мю ν} {\dot{Икс}}^{мю} {\dot{Икс}}^{ν}} г т "=" - м \int \sqrt{- {\dot{Икс}}^{2}} г т "=" \frac{- м}{2} \int \frac{- 2 {\dot{Икс}}^{2}}{\sqrt{- {\dot{Икс}}^{2}}} г т "=" \frac{1}{2} \int \frac{{\dot{Икс}}^{2} + {\dot{Икс}}^{2}}{\sqrt{- {\dot{Икс}}^{2} / м^{2}}} г т "=" \frac{1}{2} \int \frac{{\dot{Икс}}^{2} - м^{2} (- {\dot{Икс}}^{2} / м^{2})}{\sqrt{- {\dot{Икс}}^{2} / м^{2}}} г т "=" \frac{1}{2} \int (е^{- 1} {\dot{Икс}}^{2} - е м^{2}) г т

$S = - m \int ds = - m \int \sqrt{-g_{\mu \nu} \dot{X}^{\mu} \dot{X}^{\nu}} d \tau = - m \int \sqrt{- \dot{X}^2}d \tau = \frac{-m}{2} \int \frac{-2\dot{X}^2}{\sqrt{-\dot{X}^2}}d \tau \\ = \frac{1}{2} \int \frac{\dot{X}^2 + \dot{X}^2}{\sqrt{-\dot{X}^2/m^2}}d \tau = \frac{1}{2} \int \frac{\dot{X}^2 - m^2(-\dot{X}^2/m^2)}{\sqrt{-\dot{X}^2/m^2}}d \tau = \frac{1}{2} \int (e^{-1} \dot{X}^2 - e m^2)d \tau$

Помимо случайного добавления $\frac{m^2}{m^2}$ только к одному из $\dot{X}^2$ в предпоследнем равенстве ( может ли кто-нибудь объяснить это, не обращаясь к EOM или LM? ), этот вывод совершенно прост.

Можно ли получить такой же простой вывод струнного действия Полякова из струнного действия Намбу-Гото, не зная заранее действие Полякова?

Лучшая надежда исходит от обращения последней строки этого расчета Википедии :

С "=" \frac{Т}{2} \int г^{2} о \sqrt{- час} {час}^{а б} г_{а б} "=" \frac{Т}{2} \int г^{2} о \frac{2 \sqrt{- г}}{{час}^{с г} г_{с г}} {час}^{а б} г_{а б} "=" Т \int г^{2} о \sqrt{- г}

$S = \frac{T}{2}\int\mathrm d^2\sigma\sqrt{-h}h^{ab}G_{ab}=\frac{T}{2}\int\mathrm d^2\sigma\frac{2\sqrt{-G}}{h^{cd}G_{cd}}h^{ab}G_{ab}=T\int\mathrm d^2\sigma\sqrt{-G}$

но это настолько случайно, немотивированно и необъяснимо, что я не вижу очевидного такого расчета. Я могу слабо мотивировать добавление $\frac{h^{ab}G_{ab}}{h^{cd}G_{cd}}$ отметив $\sqrt{-G}$ подобен элементу объема общей теории относительности, говорящему нам добавить $1 =$ всякое построено из того, что под квадратным корнем над собой , но это все, $2$ тоже весьма случайны...

[ Это хорошо, но (может быть, я ошибаюсь) я вижу, что это слишком отличается от того, о чем я спрашиваю].

Qмеханик

По противоположному вопросу о переходе от действия Полякова к действию Намбу-Гото см. physics.stackexchange.com/q/17349/2451 и ссылки в нем.

Ответы (2)

Поляков Из Намбу-Гото Напрямую, для струнных?

По противоположному вопросу о переходе от действия Полякова к действию Намбу-Гото см. physics.stackexchange.com/q/17349/2451 и ссылки в нем.

Qмеханик · Answer 1

I) ОП запрашивает прямой/прямой вывод от действия Намбу-Гото (НГ) к действию Полякова (П) (в отличие от противоположного вывода). Это нетривиально, поскольку действие Полякова содержит метрику мирового листа (WS) $h_{\alpha\beta}$ с еще 3 переменными по сравнению с действием Намбу-Гото.

Хотя в настоящее время у нас нет естественного прямого вывода всех 3 новых переменных, у нас есть 2 из 3 переменных, см. раздел IV ниже.

II) Сначала скажем несколько слов о выводе релятивистской точечной частицы

\begin{matrix} (1) & л "=" \frac{{\dot{Икс}}^{2}}{2 е} - \frac{е м^{2}}{2} \end{matrix}

$L~:=~\frac{\dot{x}^2}{2e}-\frac{e m^2}{2}\tag{1}$

из квадратного корня лагранжиана

\begin{matrix} (2) & л_{0} "=" - м \sqrt{- {\dot{Икс}}^{2}} . \end{matrix}

$L_0~:=~-m\sqrt{-\dot{x}^2}.\tag{2}$

Обратите внимание, что вывод OP не объясняет/не освещает тот факт, что множитель Эйнбейна/Лагранжа

\begin{matrix} (3) & е > 0 \end{matrix}

$e~>~0\tag{3}$

можно взять как независимую переменную, а не просто тривиальное переименование величины $\frac{1}{m}\sqrt{-\dot{x}^2}>0$ . Важным свойством лагранжиана (1) является то, что мы можем независимо изменять множитель Эйнбейна/Лагранжа (3). Запрос OP не использовать множители Лагранжа кажется ошибочным, и мы не будем следовать этой инструкции.

III) Можно прямо/прямо/естественно вывести лагранжиан (1) с его множителем Лагранжа $e$ из лагранжиана квадратного корня (2) следующим образом:

Получите гамильтонову версию лагранжиана квадратного корня (2) с помощью (сингулярного) преобразования Лежандра. Это прямое применение уникального рецепта Дирака-Бергмана. Это приводит к импульсным переменным $p_{\mu}$ и одно ограничение с соответствующим множителем Лагранжа $e$ . Ограничение отражает инвариантность репараметризации мировой линии действия извлечения квадратного корня (1). Гамильтониан $H$ принимает вид «временное ограничение множителя Лагранжа»:
$\begin{matrix} (4) & ЧАС "=" \frac{е}{2} (п^{2} + м^{2}) . \end{matrix}$ $H~=~\frac{e}{2}(p^2+m^2).\tag{4}$ См. также, например , этот и этот посты Phys.SE.
Соответствующий гамильтонианский лагранжиан имеет вид
$\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} л_{ЧАС} "=" & п \cdot \dot{Икс} - ЧАС \\ "=" & п \cdot \dot{Икс} - \frac{е}{2} (п^{2} + м^{2}) . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} L_H~=~&p \cdot \dot{x} - H\cr ~=~&p \cdot \dot{x} - \frac{e}{2}(p^2+m^2).\end{align} \tag{5}$
Если мы проинтегрируем импульс $p_{\mu}$ снова (но сохраните множитель Лагранжа $e$ ) плотность гамильтониана лагранжиана (5) становится искомым лагранжианом (1). $\Box$

IV) Аргумент для строки аналогичен.

Начните с плотности лагранжиана NG
$\begin{matrix} (6) & л_{Н г} "=" - Т_{0} \sqrt{л_{(1)}}, \end{matrix}$ ${\cal L}_{NG}~:=~-T_0\sqrt{{\cal L}_{(1)}}, \tag{6}$ $\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} л_{(1)} "=" & - дет {(\partial_{α} Икс \cdot \partial_{β} Икс)}_{α β} \\ "=" & (\dot{Икс} \cdot {Икс}^{'})^{2} - {\dot{Икс}}^{2} ({Икс}^{'})^{2} \geq 0. \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} {\cal L}_{(1)}~:=~&-\det\left(\partial_{\alpha} X\cdot \partial_{\beta} X\right)_{\alpha\beta}\cr ~=~&(\dot{X}\cdot X^{\prime})^2-\dot{X}^2(X^{\prime})^2~\geq~ 0. \end{align}\tag{7}$
Получите гамильтонову версию струны NG с помощью (сингулярного) преобразования Лежандра. Это приводит к импульсным переменным $P_{\mu}$ и два ограничения с соответствующими двумя множителями Лагранжа, $\lambda^0$ и $\lambda^1$ , ср. мой ответ Phys.SE здесь . Два ограничения отражают репараметризационную инвариантность WS действия NG (6).
Если проинтегрировать импульсы $P_{\mu}$ снова (но оставьте два множителя Лагранжа, $\lambda^0$ и $\lambda^1$ ), плотность гамильтониана лагранжиана для струны NG принимает вид
$\begin{matrix} (8) & л "=" Т_{0} \frac{{(\dot{Икс} - λ^{0} {Икс}^{'})}^{2}}{2 λ^{1}} - \frac{Т_{0} λ^{1}}{2} ({Икс}^{'})^{2}, \end{matrix}$ ${\cal L}~=~T_0\frac{\left(\dot{X}-\lambda^0 X^{\prime}\right)^2}{2\lambda^1} -\frac{T_0\lambda^1}{2}(X^{\prime})^2,\tag{8}$ ср. мой ответ Phys.SE здесь .
[Для проверки, если мы проинтегрируем два множителя Лагранжа, $\lambda^0$ и $\lambda^1$ , при дополнительном предположении, что
$\begin{matrix} (9) & λ^{1} > 0 \end{matrix}$ $\lambda^1~>~0\tag{9}$ чтобы избежать ветви с отрицательным квадратным корнем, мы, что неудивительно, возвращаем исходную плотность лагранжиана NG (6).]
уравнение (8) — это все, что касается нашего прямого вывода. Его можно рассматривать как аналог нашего вывода для релятивистской точечной частицы в разделе III.
Теперь будем обманывать и работать в обратном направлении от плотности лагранжиана Полякова.

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} л_{п} "=" & - \frac{Т_{0}}{2} \sqrt{- час} {час}^{α β} \partial_{α} Икс \cdot \partial_{β} Икс \\ "=" & \frac{Т_{0}}{2} {\frac{{({час}_{о о} \dot{Икс} - {час}_{т о} {Икс}^{'})}^{2}}{\sqrt{- час} {час}_{о о}} - \frac{\sqrt{- час}}{{час}_{о о}} ({Икс}^{'})^{2}} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} {\cal L}_P~=~&-\frac{T_0}{2} \sqrt{-h} h^{\alpha\beta} \partial_{\alpha}X \cdot\partial_{\beta}X\cr ~=~&\frac{T_0}{2} \left\{\frac{\left(h_{\sigma\sigma}\dot{X}- h_{\tau\sigma}X^{\prime}\right)^2}{\sqrt{-h}h_{\sigma\sigma}} - \frac{ \sqrt{-h}}{h_{\sigma\sigma}}(X^{\prime})^2 \right\} .\end{align} \tag{10}$

Согласно классической симметрии Вейля, только 2 из 3 степеней свободы в метрике WS $h_{\alpha\beta}$ введите плотность лагранжиана Полякова (10). Если мы идентифицируем $\begin{matrix} (11) & λ^{0} "=" \frac{{час}_{т о}}{{час}_{о о}} и λ^{1} "=" \frac{\sqrt{- час}}{{час}_{о о}} > 0, \end{matrix}$ $\lambda^0~=~\frac{h_{\tau\sigma}}{h_{\sigma\sigma}}\quad\text{and} \quad\lambda^1~=~\frac{\sqrt{-h}}{h_{\sigma\sigma}}~>~0, \tag{11}$ тогда лагранжиан (8) становится плотностью лагранжиана Полякова (10). $\Box$

Хотя мне нравится ваш ответ, и я думаю, что подход Дирака-Бергмана действительно правильный, я боюсь, что это не удовлетворит ОП, поскольку они требуют вывода « без каких-либо уловок - никаких уравнений движения или множителей Лагранжа, просто прямой набор равенства» [выделено мной].
Рецепт Дирака-Бергмана — это не уловка. Можно искусственно ввести два множителя Лагранжа через их значение на оболочке, но это не привнесет в вывод никаких дополнительных разъяснений или большей естественности. На самом деле, это только сделало бы вывод более надуманным. Более естественно полагаться на множители Лагранжа, прямо продиктованные рецептом Дирака-Бергмана.

больбтеппа · Answer 2

Один из способов — заметить, что данный

С_{Н г} "=" - Т \int г т г о \sqrt{- час}

$S_{NG} = - T \int d \tau d \sigma \sqrt{- h}$ где

h = det (h_{a b})

$h = \det (h_{ab})$ ,

h_{a b} = \partial_{a} X^{μ} \partial_{b} X_{μ}

$h_{ab} = \partial_a X^{\mu} \partial_b X_{\mu}$ это вариация по отношению к

X^{μ}

$X^{\mu}$ частично работает следующим образом

\begin{aligned} дельта С_{Н г} & "=" - Т дельта \int г т г о \sqrt{- час} \\ "=" - Т \int г т г о дельта \sqrt{- час} \\ "=" - \frac{Т}{2} \int г т г о \sqrt{- час} {час}^{а б} дельта {час}_{а б} \\ "=" - \frac{Т}{2} \int г т г о \sqrt{- час} {час}^{а б} дельта (\partial_{а} {Икс}^{мю} \partial_{б} {Икс}_{мю}) \end{aligned}

$\begin{align} \delta S_{NG} &= - T \delta \int d \tau d \sigma \sqrt{-h} \\ &= - T \int d \tau d \sigma \delta \sqrt{-h} \\ &= - \frac{T}{2} \int d \tau d \sigma \sqrt{-h}h^{ab} \delta h_{ab} \\ &= - \frac{T}{2} \int d \tau d \sigma \sqrt{-h}h^{ab} \delta (\partial_a X^{\mu} \partial_b X_{\mu}) \end{align}$ но последняя строка — это то, что мы получили бы как первую строку от изменения нового действия

\begin{aligned} С_{п} "=" - \frac{Т}{2} \int г т г о \sqrt{- час} {час}^{а б} (\partial_{а} {Икс}^{мю} \partial_{б} {Икс}_{мю}) \end{aligned}

$\begin{align} S_P = - \frac{T}{2} \int d \tau d \sigma \sqrt{-h}h^{ab} (\partial_a X^{\mu} \partial_b X_{\mu}) \end{align}$ в отношении

X^{μ}

$X^{\mu}$ где

h_{a b}

$h_{ab}$ просто независимая переменная (метрика).

Другой соответствующий метод приведен в разделе 3.4.1 строковых заметок Таунсенда с использованием систем с ограничениями Дирака в соответствии с другим ответом.

Я часто вижу, что уравнения движения для действия NG, которые содержат член материи, имеют $1/\sqrt{-h}$ срок перед крайним $\partial_a$ . (например, уравнение движения НГ $\frac{1}{\sqrt{-h}}\partial_a(\sqrt{-h}h^{ab}\partial_b X_\mu) + \text{matter terms} =0$ ). Кажется, что без термина материи мы можем просто $1/\sqrt{-h}$ out, но хотелось бы лучше понять, откуда это берется. Спасибо за любое понимание.

Поляков Из Намбу-Гото Напрямую, для струнных?

больбтеппа

Qмеханик

Ответы (2)

Qмеханик

Любопытный Разум

Qмеханик

больбтеппа

Боб

Вывод действия Полякова

M-теория с ее 3-формой HHH и проблема отсутствия лагранжиана

Используя граничные условия конечных точек открытых строк, а затем получите EOM

Универсальность принципа наименьшего действия, почему он работает? [дубликат]

«Найти лагранжиан теории»

Вывод уравнения поля в теории Янга Миллса

Почему интеграл действия должен быть стационарным? На каком основании Гамильтон сформулировал этот принцип?

Почему общее действие должно иметь экстремум?

Что такое множители Лагранжа относительно голономных ограничений в классической механике?

Почему формула стационарного действия выражается как кинетическая минус потенциальная энергия, а не потенциальная минус кинетическая энергия?