Итеративная проекция в основное состояние

Question

Итеративная проекция в основное состояние

Физика
симуляции
основное состояние
квантовая механика
вычислительная физика

красная пятерка

В этой статье говорится, что можно «определить волновую функцию основного состояния, применяя проекционный оператор $\exp(-\tau H)$ в произвольное начальное состояние $|\Psi\rangle$ », и что в пределе $\tau \to \infty$ , у нас есть это $\exp(-\tau H)|\Psi\rangle$ сходится к истинному основному состоянию системы. Затем он утверждает, что эту проекцию нельзя выполнить за один шаг, поскольку члены гамильтониана $H$ не коммутировать друг с другом. Мой вопрос двоякий:

Откуда мы это знаем $\exp(-\tau H)|\Psi\rangle$ сходится к истинному основному состоянию системы в пределе $\tau \to \infty$ ? Я не припомню, чтобы это встречалось на каком-либо из моих курсов QM, но я мог упустить здесь что-то очень очевидное.
Почему гамильтониан с некоммутирующими членами означает, что мы не можем сделать эту проекцию за один шаг? Я понимаю, как некоммутирующие термины вызывают трудности, когда мы хотим разделить $\tau$ на множество мелких кусочков и «наращивать» до полного $\tau$ применяя оператор проектирования итеративно. Однако то, как это предложение написано в статье, заставляет меня думать, что есть какая-то априорная причина, по которой $\exp(-\tau H)|\Psi\rangle$ не дает истинного основного состояния после однократного применения, когда $H$ содержит некоммутирующие термины.

Спасибо за помощь!

Ответы (4)

Итеративная проекция в основное состояние

нервххх · Answer 1

Мэн Чэн в значительной степени уже ответил на вопрос, но, возможно, было бы полезно уточнить значение фразы «слишком сложно вычислить». $e^{-\tau H}$ для конечного $\tau$ ".

К твердости относится вычислительная сложность задачи/предлагаемого численного алгоритма. То есть, учитывая проблему размера $N$ (например, здесь, в документе, на который ссылается $N$ это количество вращений, которые вы хотите смоделировать), сколько памяти и сколько времени вам нужно.

Почему это важно, так это потому, что обычно мы хотим решать проблемы, в которых $N$ большой: очевидно, вычисления $e^{-\tau H}$ например, гамильтониан 1024x1024 $H$ описать 10 спинов не проблема — просто введите exp(H) в MATLAB или Mathematica. Но попросите MATLAB возвести в степень $H$ на 100 спинов и ваш компьютер выйдет из строя.

Поскольку возведение в степень гамильтониана обычно приводит к плотной матрице, это имеет плохое масштабирование памяти: экспоненциальное в $N$ . Масштабирование во времени см.: https://mathoverflow.net/questions/239073/what-is-the-time-complexity-of-the-matrix-exponential .

Поэтому, наивно пытаясь вычислить $e^{-\tau H}$ это глупость.

Основные идеи, которые используются в статье, следующие:

Экспонента за конечное время может быть записана как произведение многих экспонент за малые времена. $e^{-\tau H} = e^{-d \tau H}e^{-d \tau H}\cdots e^{-d \tau H}$ (это не приближение).
Для малых временных экспонент $e^{-d \tau H}$ , его можно аппроксимировать (разложение Троттера), как в уравнении. 4 бумаги: $e^{-d\tau H} = e^{-d\tau H_z} e^{-d\tau H_y} e^{-d\tau H_x} + O(d\tau^2)$
Наивно можно подумать, $H_z, H_y, H_x$ по-прежнему являются большими матрицами, поэтому возведение их в степень по-прежнему сложно, как и в общем случае. Но что хорошего в каждом $H_z, H_y, H_x$ заключается в том, что каждое из них состоит из сумм локальных термов, которые коммутируют друг с другом. Итак, полная матрица $e^{-d\tau H_z}$ сам по себе просто состоит из произведений локальных возведений в степень $e^{-d\tau H_{z,local}}$ где $H_{z,local}$ действует только на 4 участках (предполагая модель ближайшего соседа) и, таким образом, это легко сделать.

Кроме того, обратите внимание, что мы намерены применить $e^{-\tau H}$ к волновой функции. Таким образом, нам фактически не нужно формировать полный $e^{-d \tau H_z}$ и т. д., что было бы огромно. Вместо этого мы просто применяем $e^{-d\tau H_{z,local}}$ каждой локальной части волновой функции. Это очень быстро и эффективно для памяти!

Томас Фрич · Answer 2

Откуда мы это знаем $\exp(−\tau H)|Ψ\rangle$ сходится к истинному основному состоянию системы в пределе $\tau \to \infty$ ?

Вы можете записать гамильтониан в его диагонализированной форме

\begin{matrix} (1) & ЧАС "=" \sum_{н "=" 0}^{\infty} Е_{н} | Е_{н} ⟩ ⟨ Е_{н} | \end{matrix}

$H=\sum_{n=0}^\infty E_n|E_n\rangle\langle E_n| \tag{1}$ где

E_{n}

$E_n$ являются собственными значениями и

| E_{n} ⟩

$|E_n\rangle$ собственные векторы

H

$H$ . Особенно,

E_{0}

$E_0$ является наименьшим собственным значением, и

| E_{0} ⟩

$|E_0\rangle$ является основным состоянием.

Отсюда можно получить

\begin{matrix} (2) & е^{- т ЧАС} "=" \sum_{н "=" 0}^{\infty} е^{- т Е_{н}} | Е_{н} ⟩ ⟨ Е_{н} | \end{matrix}

$e^{-\tau H}=\sum_{n=0}^\infty e^{-\tau E_n}|E_n\rangle\langle E_n| \tag{2}$

Вы можете разложить любой вектор $|\Psi\rangle$ как линейную комбинацию собственных векторов $|E_n\rangle$

\begin{matrix} (3) & | Ψ ⟩ "=" \sum_{м "=" 0}^{\infty} с_{м} | Е_{м} ⟩ \end{matrix}

$|\Psi\rangle=\sum_{m=0}^\infty c_m|E_m\rangle \tag{3}$

Теперь применим оператор (2) к вектору (3):

\begin{aligned} е^{- т ЧАС} | Ψ ⟩ "=" & \sum_{н "=" 0}^{\infty} е^{- т Е_{н}} | Е_{н} ⟩ ⟨ Е_{н} | \sum_{м "=" 0}^{\infty} с_{м} | Е_{м} ⟩ \\ "=" & \sum_{н "=" 0}^{\infty} е^{- т Е_{н}} | Е_{н} ⟩ \sum_{м "=" 0}^{\infty} с_{м} ⟨ Е_{н} | Е_{м} ⟩ \\ "=" & \sum_{н "=" 0}^{\infty} е^{- т Е_{н}} | Е_{н} ⟩ \sum_{м "=" 0}^{\infty} с_{м} {дельта}_{н м} \\ "=" & \sum_{н "=" 0}^{\infty} е^{- т Е_{н}} с_{н} | Е_{н} ⟩ \\ "=" & е^{- т Е_{0}} \sum_{н "=" 0}^{\infty} е^{- т (Е_{н} - Е_{0})} с_{н} | Е_{н} ⟩ \\ "=" & е^{- т Е_{0}} (с_{0} | Е_{0} ⟩ + \sum_{н "=" 1}^{\infty} \underset{\to 0}{\underset{⏟}{е^{- т (Е_{н} - Е_{0})}}} с_{н} | Е_{н} ⟩) \\ \to & е^{- т Е_{0}} с_{0} | Е_{0} ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} e^{-\tau H}|\Psi\rangle =& \sum_{n=0}^\infty e^{-\tau E_n}|E_n\rangle\langle E_n| \sum_{m=0}^\infty c_m|E_m\rangle \\ =& \sum_{n=0}^\infty e^{-\tau E_n}|E_n\rangle \sum_{m=0}^\infty c_m\langle E_n|E_m\rangle \\ =& \sum_{n=0}^\infty e^{-\tau E_n}|E_n\rangle \sum_{m=0}^\infty c_m\delta_{nm} \\ =& \sum_{n=0}^\infty e^{-\tau E_n} c_n |E_n\rangle \\ =&\ e^{-\tau E_0} \sum_{n=0}^\infty e^{-\tau (E_n-E_0)} c_n |E_n\rangle \\ =&\ e^{-\tau E_0} \left(c_0|E_0\rangle + \sum_{n=1}^\infty \underbrace{e^{-\tau (E_n-E_0)}}_{\to 0} c_n |E_n\rangle\right) \\ \to&\ e^{-\tau E_0} c_0|E_0\rangle \end{align}$

Таким образом, для $\tau \to \infty$ вы, наконец, получили вектор, пропорциональный основному состоянию $|E_0\rangle$ .

Почему гамильтониан с некоммутирующими членами означает, что мы не можем сделать эту проекцию за один шаг?

Я тоже не понимаю, о каких некоммутирующих терминах говорят авторы в этом утверждении. Конечно $H$ коммутирует с $H$ , так это не то, что они имеют в виду.

Что ж, предел, существование которого вы утверждаете, как правило, не существует (вам нужно все нормализовать, чтобы доказать существование предела). Если он существует, он может не сходиться к основному состоянию. Достаточно выбрать начальный вектор с $c_0=0$ .
@ValterMoretti обычно следует использовать случайный начальный вектор, который почти наверняка будет содержать ненулевой $c_0$ . Но, тем не менее, этот метод мнимого времени не кажется лучше, чем метод Арнольди, который также требует только умножения гамильтониана на любой заданный вектор и работает лучше, чем метод распространения мнимого времени, в присутствии близко расположенных уровней энергии вблизи основное состояние.

Мэн Ченг · Answer 3

Что касается вашего вопроса 2, я думаю, что авторы не говорили ничего более глубокого или глубокого, чем «слишком сложно вычислить $e^{-\tau H}$ непосредственно для конечного $\tau$ "из-за некоммутативности между различными терминами в $H$ . Вот почему они разделили его на множество мелких частей, и для мелких $\tau$ можно применить приближение в уравнении (4) статьи.

Вальтер Моретти · Answer 4

Поскольку у меня нет доступа к статье, я не могу много сказать о 2. Что касается 1, утверждение в его нынешнем виде тривиально ложно, даже если оно верно, скажем, грубо говоря.

Что математически верно, так это то, что для каждого ненулевого вектора $\psi$ ,

\underset{т \to + \infty}{лим} \frac{е^{- т ЧАС} ψ}{| | е^{- т ЧАС} ψ | |} "=" ψ_{0}

$\lim_{t\to +\infty} \frac{e^{-tH} \psi}{||e^{-tH}\psi||} = \psi_0$ где

ψ_{0}

$\psi_0$ является нормализованным собственным вектором

H

$H$ с собственным значением, заданным

мин о (ЧАС) \cap о_{ψ} (ЧАС),

$\min \sigma(H) \cap \sigma_\psi(H)\:,$ где

σ (H)

$\sigma(H)$ это спектр

H

$H$ и

σ_{ψ} (H)

$\sigma_\psi(H)$ это минимальный набор собственных значений, чьи собственные векторы охватывают

ψ

$\psi$ . (Я предполагаю, что имею дело с эрмитовыми матрицами и

H

$H$ такая матрица, поэтому все конечномерно.)

В частности, легко выделить $\psi$ такой, что указанный выше предел не сходится к основному состоянию $H$ (в предположении, что собственное пространство с минимальной энергией одномерно).

Если с точностью до фаз $\phi$ представляет такое основное состояние, достаточно выбрать $\psi \perp \phi$ .

Доказательство моих утверждений - это прямая повторная адаптация ответа Томаса Фрича.

Итеративная проекция в основное состояние

красная пятерка

Ответы (4)

нервххх

Томас Фрич

Вальтер Моретти

Руслан

Мэн Ченг

Вальтер Моретти

Коэффициент прохождения гауссовского волнового пакета через потенциальный барьер

Как на самом деле найти основное состояние Хартри-Фока?

Теория вычислений и аргумент моделирования

Размерность гамильтониана и диагональность

Численное взятие curl гамильтониана, записанного в пространстве Фурье

Всегда ли основное состояние в КМ уникально? Почему?

Могу ли я перемотать гравитацию?

Является ли Вселенная машиной Тьюринга?

Насколько близко к критической точке достаточно близко для измерения критических показателей?

Квантовая задача рассеяния в анизотропной среде