Существует ли принцип Мопертюи для общей теории относительности?

I) Мы предполагаем, что вопрос ОП касается массивной точечной частицы массы покоя.$m_0>0$в лоренцевом пространственно-временном многообразии$(M,g)$[из подписи$(+,-,\ldots, -)$] между начальной и конечной точкой пространства-времени$p_i, p_f\in M$, которые должны быть причинно связаны. Будем работать в единицах, где скорость света$c=1$и масса покоя$m_0=1$оба одно.

II) Прежде чем обсуждать принцип Мопертюи , мы должны сначала иметь принцип стационарного действия (SAP). В вопросе ОП упоминается неуказанный$4$-сила. Чтобы иметь вариационный принцип, мы должны потребовать, чтобы$4$-сила исходит из потенциала$U$. Затем действие

$$S[x;\lambda_i,\lambda_f] ~=~\int_{\lambda_i}^{\lambda_f}\! d\lambda~L, \qquad L~=~T-U,$$ $$\tag{1} T~:=~-\sqrt{T_0},\qquad T_0~:=~ g_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu},$$

где$\lambda$— параметр, а точка означает дифференцирование относительно него.$\lambda$.

III) В SAP мы накладываем граничные условия Дирихле (BC)

$$\tag{2} x^{\mu}(\lambda_i)~=~x_i^{\mu}\qquad\text{and}\qquad x^{\mu}(\lambda_f)~=~x_f^{\mu},$$

и хранить$\lambda_i,\lambda_f$зафиксированный.

IV) Будем считать, что действие (1) репараметризационно-инвариантно

$$\tag{3}\lambda\quad\longrightarrow\quad \tilde{\lambda}~=~f(\lambda),$$

так как физика должна быть геометрической.

V) Лагранжиан$4$- функции импульса и энергии становятся

$$\tag{4} p_{\mu}~:=~\frac{\partial L}{\partial\dot{x}^{\mu}}~=~ -\frac{g_{\mu\nu}\dot{x}^{\nu}}{\sqrt{T_0}}-\frac{\partial U}{\partial\dot{x}^{\mu}},$$

и

$$\tag{5} h~:=~ p_{\mu}\dot{x}^{\mu} - L~=~\left(1 - \dot{x}^{\mu}\frac{\partial }{\partial\dot{x}^{\mu}}\right)U,$$ соответственно.

VI) Обычно при обсуждении сокращенного принципа действия предполагается, что лагранжиан (1) не имеет явного$\lambda$-зависимость, так что энергия (5) сохраняется на оболочке. Нет явного$\lambda$-зависимость может показаться естественной и невинной, но вместе с репараметризационной инвариантностью (3) она сильно ограничивает возможные возможности$U$. Потенциал Лоренца$U\propto A_{\mu}\dot{x}^{\mu}$еще разрешено, конечно.

VII) На самом деле нет явного$\lambda$-зависимость и репараметризационная инвариантность (3) в основном означают, что функция энергии (5) тождественно обращается в нуль.

VIII) Сокращенное действие становится

$$\tag{6} A[x;E,\lambda_i,\lambda_f] ~=~\int_{\lambda_i}^{\lambda_f}\! d\lambda~ p_{\mu}\dot{x}^{\mu}$$

для виртуальных путей постоянной и одинаковой энергии

$$\tag{7} h~=~E,$$

удовлетворяющая Дирихле BC (2), но свободная$\lambda_i$и$\lambda_f$. Из раздела VII мы знаем, что энергия$E=0$выпадает из сокращенного действия (6).

IX) Возвращаясь к вопросу OP, похоже, мало надежды получить форму квадратного корня Якоби из сокращенного принципа действия (6) без дальнейших предположений.

Естественным следующим шагом будет предположить, что потенциал$U$не зависит от$4$-скорость$\dot{x}^{\mu}$. Тогда функция энергии$h\equiv U$становится просто потенциальной энергией, и$p_{\mu}\dot{x}^{\mu}\equiv T\equiv -\sqrt{T_0}$.

Однако, при всех прочих вышеуказанных требованиях, это в основном означает, что потенциал$U=0$равен нулю!

Конечно, без потенциала$U=0$, мы неудивительно получаем форму квадратного корня Якоби из сокращенного принципа действия

$$\tag{8} A[x;E,\lambda_i,\lambda_f] ~=~-\int_{\lambda_i}^{\lambda_f}\! d\lambda~\sqrt{T_0} .$$

Сокращенное действие (8) идентично САП (1), с которого мы начали, в основном из-за репараметризационной инвариантности.