Действие массивной точечной частицы в искривленном пространстве-времени

Question

Действие массивной точечной частицы в искривленном пространстве-времени

действие
Физика
геодезические
общая теория относительности
лагранжев формализм
вариационный принцип

Нео

Правильно ли это действие для массивной точечной частицы в искривленном пространстве-времени?

С "=" - М с \int г с "=" - М с \int_{ξ_{0}}^{ξ_{1}} \sqrt{г_{мю ν} (Икс) \frac{г {Икс}^{мю} (ξ)}{г ξ} \frac{г {Икс}^{ν} (ξ)}{г ξ}} г ξ

$\mathcal S =-Mc \int ds = -Mc \int_{\xi_0}^{\xi_1}\sqrt{g_{\mu\nu}(x)\frac{dx^\mu(\xi)}{d\xi} \frac{dx^\nu(\xi)}{d\xi}} \ \ d\xi$ с соглашением о знаках

(+, -, -, -)

$(+,-,-,-)$ .

Джерри Ширмер

Да, но если вы пытаетесь вывести геодезическое уравнение, вы ничего не потеряете, кроме головной боли, заменив это действие на

S = \int d s (g_{a b} {\dot{x}}^{a} {\dot{x}}^{b})

$S = \int ds (g_{ab}{\dot x}^{a}{\dot x}^{b})$ , где

{\dot{x}}^{a} = \frac{\partial x^{a}}{\partial s}

${\dot x}^{a} = \frac{\partial x^{a}}{\partial s}$ , так как минимум

\int f (x)

$\int f(x)$ тоже будет как минимум

\int (f (x))^{2}

$\int (f(x))^{2}$

Ответы (2)

Действие массивной точечной частицы в искривленном пространстве-времени

Да, но если вы пытаетесь вывести геодезическое уравнение, вы ничего не потеряете, кроме головной боли, заменив это действие на $S = \int ds (g_{ab}{\dot x}^{a}{\dot x}^{b})$ , где ${\dot x}^{a} = \frac{\partial x^{a}}{\partial s}$ , так как минимум $\int f(x)$ тоже будет как минимум $\int (f(x))^{2}$

Пратьюш · Answer 1

Конечными точками вашего действия должны быть события, следовательно, это должен быть d+1-мерный объект. Действие должно быть экстремальным по всем путям, которые начинаются и заканчиваются в заданных точках пространства-времени.

Путь может быть параметризован 4 функциями пространства и времени, $x^\mu(\xi)$ объекта с одним параметром $\xi$ . Поэтому было бы неправильно обозначать конечные точки с точки зрения $\xi$ . Вместо $\xi$ следует рассматривать как промежуточную метку для описания путей. В противном случае функциональная форма интеграла верна.

левитофер · Answer 2

Это зависит от того, что вы имеете в виду; то есть действие пробной частицы в фоновом гравитационном поле, заданное метрикой $g_{\mu\nu}$ . Если вы минимизируете его, вы получите геодезическое уравнение. Это НЕ динамическое действие гравитационного поля; ваша пробная частица не изменяет кривизну фонового пространства-времени. Действие для гравитационного поля Эйнштейна-Гильберта,

$S=\frac{1}{\kappa}\int RdV$

где $R$ скалярная кривизна, $\kappa$ – константа связи.

Вводит в заблуждение писать $\mbox d^4 V$ . Это создает впечатление, что он интегрируется поверх $4(4)=16$ размерное многообразие.
Вы правы на 100%. Я отредактирую это.

Действие массивной точечной частицы в искривленном пространстве-времени

Нео

Джерри Ширмер

Ответы (2)

Пратьюш

левитофер

Абхиманью Паллави Судхир

левитофер

Существует ли принцип Мопертюи для общей теории относительности?

Мировая линия действия точечной частицы в гравитационном поле

Уравнение Эйлера-Лагранжа в общей теории относительности

Когда установить величину постоянной в лагранжиане (уравнения геодезических)?

Содержит ли действие Эйнштейна-Гильберта только первые производные метрики?

Интуиция для действий, записанных в виде интегралов по пространству-времени

Какова мотивация действия Эйнштейна-Гильберта?

Почему мы можем установить вариации для метрики и ее производных равными нулю на бесконечности?

Итого производные в GR

Граничный член в действии Эйнштейна-Гильберта