Содержит ли действие Эйнштейна-Гильберта только первые производные метрики?

Мы склонны использовать только лагранжианы, которые являются функцией не более чем первой производной поля л "=" л ( ф , ∂ мю ф ) . Для общей теории относительности это не должно быть другим, поскольку уравнения поля Эйнштейна имеют только второй порядок в метрике. Однако наивно можно было бы думать, что лагранжиан в действии Эйнштейна-Гильберта содержит вторые производные в метрике из-за наличия скаляра Риччи. Почему это не проблема?

л Е ЧАС ( г мю ν , г мю ν , α , г мю ν , α β ) "=" − г р

Если мы выполняем вариацию, оказывается, это не имеет значения. Запись лагранжиана как − г г мю ν р мю ν вариация содержит три члена (первые два из которых не содержат производных от метрики), следовательно

дельта С "=" ∫ г 4 Икс [ − 1 2 − г г мю ν р дельта г мю ν + − г р мю ν дельта г мю ν + − г г мю ν дельта р мю ν ]

Первые два члена объединяются в тензор Эйнштейна, оставляя возможность проблемы только в последнем члене. Однако это появляется как полная производная, которую мы можем игнорировать. Интересно, что доказательство этого использует тождество Палатини , которое, кажется, не зависит от выражения символов Кристоффеля с помощью производных метрики, а только от их общих свойств как связи.

Так что, похоже, нам здесь повезло, но есть ли более глубокая причина, по которой это сработало?

Ответы (1)

Легче продемонстрировать это в формализме гравитации первого порядка, который включает в себя как тетраду, так и е (который представляет собой квадратный корень из метрики г ∼ е 2 , см. здесь дополнительные пояснения) и спиновое соединение ю . Стоит отметить, что суть подхода Палатини (упомянутого в OP) заключается в том, чтобы рассматривать метрику и (аффинную) связь как независимые переменные. Подводя итог: ключевым элементом доказательства является введение независимой переменной связи, будь то спиновая связь или аффинная связь.

Теперь подробности:

Действие гравитации может быть эвристически (забывая о мелочах индексов Лоренца и внешнего произведения между дифференциальными формами) записано как

С ∼ ∫ е 2 ( г ю + ю 2 ) .

Уравнения гравитации можно получить, варьируя действие с помощью е и ю независимо .

Варьируется с е урожаи

2 е ( г ю + ю 2 ) ∼ Т ,
где Т — тензор энергии-импульса. Спиновое соединение ю определяется изменением действия с ю что, в свою очередь, дает условие нулевого кручения в случае нулевого спинового тока от фермионов:
г е + е ю "=" 0.
Поэтому ю является первой производной от е и метрика г ∼ е 2
ю ∼ г е / е ∼ г г / е 2 .
Подставив вышесказанное в
2 е ( г ю + ю 2 ) ∼ Т
показывает, что уравнение гравитационного поля содержит только производные второго порядка.

Подводя итог: поскольку мы варьируем действие силы тяжести с помощью е удерживая ю постоянная, действие силы тяжести е 2 ( г ю + ю 2 ) и левая часть уравнения гравитационного поля 2 е ( г ю + ю 2 ) имеют один и тот же член кривизны R

р "=" г ю + ю 2 ,
без дальнейшего изменения кривизны р против метрики.

Означает ли это, что формализм Палатини в чем-то более фундаментален?
@Каспер, тетрада е и спиновое соединение ю необходимы для четко определенной теории, связывающей гравитацию с фермионами/спиновым током. Я бы считал гравитацию наделенной е и ю более фундаментальным, поскольку фундаментальная теория гравитации должна учитывать фермионы и спины.
Содержит ли действие Эйнштейна-Гильберта только первые производные метрики?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v