Изменение измерений ggg на поверхности Земли из-за гравитации Луны

Вопрос касается «лабораторных» измерений, т. е. местных. Такое измерение может быть чувствительным только к гравитационному ускорению пробной массы относительно лаборатории. Например, если бросить массу в вакуумную колонну и измерить время, необходимое для удара об пол, полученное ускорение будет ускорением массы относительно пола. То же самое относится и к любому другому локальному измерению, например измерению с помощью маятника.

В этом вопросе учащемуся предлагается рассчитать «суточную» вариацию$g$, а это слово означает вариацию с периодом 24 часа. Как я покажу ниже, можно ожидать почти нулевой вариации из-за Луны с периодом в 24 часа при упрощающих предположениях задачи, как указано. Фактический эффект ведущего порядка при этих предположениях имеет период 12 часов и примерно на два порядка меньше заявленного в книге.

Позволять$M$быть массой земли,$m$масса луны,$R$межцентровое расстояние между Землей и Луной, и$r$радиус земли. Пусть индекс N относится к состоянию, в котором Луна находится в надире, а Z — к тому, в котором Луна находится в зените. Пусть луна и земля будут на$x$оси, при этом Луна лежит справа от Земли.

Ускорение Земли из-за гравитационного притяжения Луны равно$a_E=Gm/R^2$. Ускорение пробной массы в лаборатории в этих двух условиях равно$a=\pm GM/r^2+ Gm/(R\pm r)^2$, где$+$для Н,$-$для Z. Вычитание дает ускорение испытательной массы относительно лаборатории,

что становится с приближением$1/(1+\epsilon)^2-1\approx -2\epsilon$,

В состоянии N эта величина положительна, а в состоянии Z – отрицательна. Поскольку аппарат поворачивается на 180 градусов за 12 часов из-за вращения Земли, то, что мы на самом деле измеряем, равно$|a_R|$, что одинаково в обоих случаях. (Чтобы увидеть какие-либо изменения в течение 12 часов, нам нужно перейти к следующему заказу.)

В моменты времени за 6 часов до и после N и Z, когда Луна находится на горизонте, гравитация Луны действует под углом$\theta\approx r/R$ниже горизонта, увеличивая$y$ускорение пробной массы на$(Gm/R^2)\sin\theta\approx Gmr/R^3$. Собственное ускорение Земли не имеет составляющей вдоль$y$оси, поэтому это увеличение наблюдается и по лабораторным измерениям.

Таким образом, существует двухсуточная (не суточная) вариация с размахом амплитуды по отношению к$g$, из

Кажется, это согласуется с цифрой, рассчитанной Дэвидом Хамменом в нижней части этого ответа . (Дэвид начинает с расчета солнечного эффекта, который оказывается намного меньшим, но затем дает цифру для объединенного лунного и солнечного эффектов. Деление его цифры на 9,8 м/с2, кажется, дает то же самое, что и я. )

Неправильный ответ, данный в книге, по-видимому, был получен путем игнорирования того факта, что Земля ускоряется в ответ на гравитацию Луны. В этом предположении можно получить вариацию от пика к пику

с 24-часовым периодом, заявленным книгой.

После того, как я записал приведенные выше расчеты, Флорис указал на этот предыдущий ответ, который дает график, показывающий экспериментальные данные. По-видимому, имеются две составляющие Фурье примерно одинаковой амплитуды, одна с периодом 12 часов, а другая с периодом 24 часа. Амплитуда 12-часового компонента соответствует моему прогнозу. Однако у меня возникли проблемы с пониманием 24-часовой составляющей, которая имеет размах амплитуды около$10^{-7}g$. Это на два порядка меньше результата книги, но все же больше, чем я могу объяснить. Если я продолжу ряд Тейлора, который я сократил в своем первоначальном ответе, я получу$1/(1+\epsilon)^2-1\approx -2\epsilon+3\epsilon^2$. Дополнительный член дает 24-часовое колебание с размахом амплитуды$6Gmr^2/R^4$, что получается примерно$6\times10^{-9}g$, что более чем на порядок слишком мало для объяснения наблюдений. Интересно, каково происхождение этого эффекта? К сожалению, у меня нет доступа к статье Zumberge (это она ? ). Я задал отдельный вопрос об этом эффекте.

Ответ зависит от того, как вы интерпретируете вопрос. Выбор определения g как разности ускорений относительно земли дает один ответ, ответ будет другим, если g определяется просто как «ускорение свободного падения» и не предполагается никакого метода измерения. В вопросе не сказано, как производится измерение. Если оставить в стороне ОТО, если она сделана относительно неускоренного объекта вдали от любых масс (например, свободного тела в межзвездном пространстве), то ответ будет таким же, как в книге, с разумной степенью точности, поскольку это просто изменение ускорения из-за изменения общей силы, действующей на пробную массу, деленной на массу объекта. Ускорение других объектов не имеет значения. Это независимый от измерения ответ на вопрос, т.е. 7x10-6g. Это можно измерить в лаборатории «простым» способом,