Измерение киральной симметрии: существует ли векторное поле, связанное с киральным током?

1) Действительно, существуют теории, в которых в игру вступают калибровочные векторные поля, связанные с аксиальным фермионным током. Самый знакомый пример — это, конечно же, Стандартная модель , в которой есть локальная$SU_{L}(2)$симметрия (дуплеты левых фермионов взаимодействуют с 3 калибровочными полями$W_{\mu}^{a}$). Можно переписать теорию в терминах векторно-аксиального базиса,

$$\psi_{L} \equiv \frac{1}{2}\psi - \frac{\gamma_{5}}{2}\psi,$$ и соответствующие векторно-аксиальные калибровочные поля равны $$V_{\mu}^{a} = \frac{W_{\mu}^{a}}{2}, \quad A_{\mu}^{a} = -\frac{W_{\mu}^{a}}{2}$$ 2) Существует также много реалистических теорий поля, в которых существуют аксиально-векторные поля, но где они не являются калибровочными полями ; обычно есть поля, представляющие некоторые частицы или симметрии теории.

Знакомый пример — мезоны с аксиальными векторами в КХД вблизи и ниже глобальной киральной симметрии.$SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)$ломая шкалу. Подход к введению этих мезонов следующий: можно калибровать эту симметрию, вводя безмассовые аксиально-векторные поля, а затем явно нарушать ее, добавляя массовые члены. Хотя такой подход выглядит неестественным, на самом деле он имеет некоторое теоретическое происхождение (действие киральной теории возмущений скрывает локальные калибровочные$SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)$симметрия), феноменологическое происхождение (аксиально-векторные мезоны, конечно, часть КХД, которая соблюдает приблизительную киральную симметрию), глубокие исторические корни (так называемая модель доминирования векторных мезонов) и более или менее успешно описывает данные.

Другим примером такой эффективной теории является полуметалл Вейля вблизи точки пересечения зон. Это дается теорией безмассовых киральных фермионов с ненулевым расстоянием в импульсе и энергетическом пространстве между их спектром (являющимся конусами Дирака), параметризованным$b_{\mu}$. Он локальный из-за напряжений и дислокаций в полуметалле. Лагранжиан такой модели эффективно совпадает с

$$L = \bar{\psi}(i\gamma_{\mu}\partial^{\mu} -\gamma^{\mu}\gamma_{5}b_{\mu})\psi$$ 3) Кроме того, иногда вводятся фоновые осевые калибровочные поля, когда нам нужно определить осевой ток посредством действия. Именно, если ввести такое поле $A_{\mu}$, то соответствующий ток определяется выражением $$J_{\mu}^{A}(x) = \frac{\delta \Gamma[A]}{\delta A^{\mu}(x)}$$ После расчета тока и его свойств (часто связанных с киральной аномалией) связь с $A$устанавливается равным нулю. Этот трюк использовал Бардин, когда вычислял аномалию в $SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)$теория аналогична КХД.

Примечание о смешанных аномалиях

Конечно, если у Вас есть и векторная, и аксиально-векторная калибровочная симметрия, то появляется калибровочная аномалия. Если у Вас будет только один вид фермионов, то в целом теория будет несостоятельной. Для устранения этой аномалии требуются другие фермионы. Однако из написанного выше текста Вы видите, что часто аксиальные (или векторные) калибровочные поля на самом деле являются фиктивными (или могут даже соответствовать физической частице), и в этих случаях Вам не стоит беспокоиться об аномалиях. Действительно, предположим, что теория, в которой оба вектора$V_{\mu}$и осевой вектор$A_{\mu}$поля присутствуют; однако осевое поле является физическим. Тогда (постоянная) аномалия для векторных и осевых токов равна

$$\tag 1 \partial_{\mu}J^{\mu}_{V} = \frac{1}{48\pi^{2}}\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}F_{\mu\nu}^{A}F_{\alpha\beta}^{V},$$ $$\tag 2 \partial_{\mu}J^{\mu}_{A} = \frac{1}{96\pi^{2}}\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}(F_{\mu\nu}^{A}F_{\alpha\beta}^{A} + F_{\mu\nu}^{V}F_{\alpha\beta}^{V})$$ Чтобы убрать аномалию из сохранения векторного тока (и соответствующих тождеств Уорда, разумеется), необходимо добавить локальный контрчлен (в литературе он называется контрчленом Бардина), который отменяет правую часть $(1)$. Выражение $(2)$вместо этого принимает форму $$\partial_{\mu}J^{\mu}_{A} = \frac{1}{96\pi^{2}}\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}(F_{\mu\nu}^{A}F_{\alpha\beta}^{A} + 3F_{\mu\nu}^{V}F_{\alpha\beta}^{V})$$ Этот контрчлен даже порождает дополнительную физическую часть векторного тока $J_{\mu}$, а именно $$\Delta J_{\mu}^{V} \sim \epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}A^{\nu}F^{\alpha\beta}_{V}$$