Глобальная симметрия U(1)U(1)U(1) 2+1D модели Абеля-Хиггса

В модели Абеля-Хиггса

(5.34) С "=" ∫ г 3 Икс { − 1 4 г 2 Ф мю ν Ф мю ν + | Д ф | 2 − а | ф | 2 − б | ф | 4 }

Eсть U ( 1 ) калибровочная симметрия. В конспектах лекций Дэвида Тонгса « Квантовый эффект Холла» , глава 5, на странице 169, он говорит, что существует также менее очевидная глобальная симметрия с текущим

(5.35) ⋆ Дж "=" 1 2 π г б .

Я так понимаю, ток сохраняется по понятной причине. Но почему поток соответствует глобальному U ( 1 ) симметрия? Что это за глобальное U ( 1 ) симметрия?

Ответы (2)

Любая абелева калибровочная теория имеет U ( 1 ) глобальная симметрия с током Дж "=" ⋆ Ф в силу тождества Бьянки,

г ⋆ Дж "=" г Ф "=" 0.

Сначала предположим, что теория четырехмерна, и в этом случае эта симметрия немного более знакома. В этом случае Дж является 2-формой. Соответствующий заряд

Вопрос "=" ∫ С 2 ⋆ Дж "=" ∫ С 2 Ф

измеряет магнитный поток линейного оператора ЧАС ( С ) («линейный оператор `t Hooft»), который поддерживается на линии С который связывает С 2 . Она соответствует мировой линии зондового магнитного монополя, а Вопрос измеряет магнитный поток монополя так же, как ∫ С 2 ⋆ Ф измеряет электрический поток на мировой линии электрического заряда. Они называются глобальными симметриями 1-формы, потому что заряженные операторы поддерживаются на линиях.

Та же история проходит в любом измерении г > 2 . Мы получаем ( г − 3 ) -form глобальная симметрия, означающая, что заряженные операторы поддерживаются на ( г − 3 ) -многообразия, которые связывают 2-сферу, над которой мы измеряем заряд ∫ С 2 Ф .

В 3-х измерениях, Дж "=" ⋆ Ф является 1-формой, так что это обычная глобальная симметрия. Операторы 'т Хофта — это точечные операторы магнитного монополя, зарядом которых снова является магнитный поток.

Мы рассматриваем калибровочную теорию U(1), что означает наличие калибровочно-инвариантного локального оператора, называемого Ф в спектре, и это удовлетворяет г Ф "=" 0 . Нечего проверять, это часть определения, поэтому я не уверен, что вы имеете в виду
@AccidentalFourierTransform A не связан с j, j равен dA и сохраняется по топологическим причинам. Что-то еще соединяется с j, скажем, B, поэтому связь выглядит как BdA.
@AccidentalFourierTransform По определению квантовая теория содержит локальный оператор Ф который закрыт. Поэтому в спектре присутствует сохраняющийся ток ⋆ Ф . Если хотите, вы можете связать ток с полем фонового датчика, но ваш комментарий, похоже, ставит логический порядок в обратном порядке.
Это неправильно, потому что j является функцией динамического А, а не фонового калибровочного поля, которое не интегрируется. Вы путаете тождество Бьянки для динамического калибровочного поля (которое гарантируется определением калибровочной теории) и тождество Бьянки для фонового калибровочного поля (что эквивалентно сохранению тока).
Спасибо. Почему это связано с U ( 1 ) группа? Я вижу, что он сохраняется автоматически. Откуда U ( 1 ) родом из?
U(1) связано с тем, что интегралы г б / 2 π (заряды) — целые числа на замкнутых поверхностях.
@NewStudent Симметрия действует как О ( Икс ) → е я α ∫ С 2 Ф О ( Икс ) . Как сказал Райан, периоды Ф квантуется кратно 2 π , так α е р / Z оценивается кругом. Итак, группа симметрии — это U(1).
Почему действует как О ( Икс ) → е я α ∫ С 2 Ф О ( Икс ) ?

Сохраняющиеся межпериодные 2-формы соответствуют U ( 1 ) глобальные симметрии по теореме Нётер. Эта симметрия действует на инстантонные операторы, но не на поля. Если вы примените дуальность частица-вихрь, это будет сдвиговая симметрия дуальной U ( 1 ) скаляр.

Спасибо. Не могли бы вы добавить больше деталей? Я вижу только ток Нётер − я ( Д ф ) † ф + я ф † Д ф .
Твой г б / 2 π — другой ток Нётер. Я написал об этом статью с Зохаром Комаргодски, Адаром Шароном и Синан Чжоу arxiv.org/abs/1705.04786 . Проверьте это.
Но ток Нётера сохраняется на оболочке. Этот топологический ток сохраняется автоматически. Почему это связано с U ( 1 ) группа?
Не могли бы вы объяснить мне, что ∫ А ∪ ж 3 означает? Есть ли учебники по математике, объясняющие эту математику?
Это объясняется в любом учебнике, в котором обсуждаются симплициальные когомологии, например, «Алгебраическая топология Хэтчера» доступна онлайн math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html . Эти выражения также можно понимать в условиях континуума, которые мы объяснили здесь arxiv.org/abs/1404.3230 на странице 21.
Глобальная симметрия U(1)U(1)U(1) 2+1D модели Абеля-Хиггса
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v