Что происходит с лагранжианом теории Дирака при зарядовом сопряжении?

Рассмотрим оператор зарядового сопряжения, действующий на поле Дирака ( ψ ) как

ψ С ≡ С ψ С − 1 "=" С γ 0 Т ψ *
Точно так же, как мы можем оперировать оператором четности с лагранжианом, и мы говорим, что теория обладает симметрией, если
п л ( т , Икс я ) п − 1 "=" л ( т , − Икс я )

Предположим, мы работаем С на лагранжиане Дирака что мы должны получить?

С л Д я р а с ( Икс мю ) С − 1 "=" л Д я р а с * ( Икс мю ) ?
по аналогии с преобразованием скалярного поля ф зарядовое сопряжение.

На той же ноте можно спросить, какое уравнение должно ψ С удовлетворить? Если он удовлетворяет сопряженному уравнению Дирака как

( я γ мю ∂ мю + м ) ψ С "=" 0 ?
Если да, то может ли кто-нибудь дать мне физическую интерпретацию этого.

Я задаю этот вопрос, так как хочу явно использовать ψ С и проверьте, сохраняет ли он лагранжианский инвариант Дирака. Я сделал расчет, подставив ψ С в уравнении Дирака и обнаружили, что оно не удовлетворяет, как показано ниже.

( я γ мю ∂ мю − м ) ψ С "=" я ( γ мю С γ 0 Т ) ∂ мю ψ * − ( С γ 0 Т ) м ψ *
Мы будем использовать С − 1 γ мю С "=" − γ мю Т и { γ мю Т , γ ν Т } "=" 2 г мю ν .
Учитывать
γ мю С γ 0 Т "=" С С − 1 γ мю С γ 0 Т "=" − С γ мю Т γ 0 Т "=" С γ 0 Т γ мю Т
Следовательно, подставляя обратно, мы получим
( я γ мю ∂ мю − м ) ψ С "=" С γ 0 Т ( я γ мю Т ∂ мю ψ * − м ψ * ) "=" С γ 0 Т [ ( я γ мю Т ∂ мю ψ * − м ψ * ) Т ] Т "=" С γ 0 Т ( я ψ † γ мю ∂ мю − м ψ † ) Т "=" С γ 0 Т [ ( я ψ ¯ γ 0 γ мю ∂ мю − м ψ ¯ γ 0 ) ] Т
Сейчас
γ 0 γ мю ∂ мю "=" ( γ 0 ∂ т + γ я ∂ я ) γ 0
Если мы подставим обратно, мы получим
( я γ мю ∂ мю − м ) ψ С "=" С γ 0 Т [ { я ψ ¯ ( γ 0 ∂ т + γ я ∂ я ) − м ψ ¯ } γ 0 ] Т ≠ 0

Ответы (2)

Краткий ответ на вопрос: «Что происходит с лагранжианом теории Дирака при зарядовом сопряжении?» есть "ничего". Он инвариантен относительно зарядового сопряжения.

Прежде чем перейти к более длинному изложению, я хотел бы указать на потенциальное непонимание природы инвариантности уравнений движения относительно преобразований симметрии, возникающее в связи с вашим утверждением о четности ( Икс → − Икс ). Ваше уравнение

п л ( т , Икс я ) п − 1 "=" л ( т , − Икс я )
верно. Но это само по себе не «говорит, что теория обладает симметрией». На самом деле, это накладывает ограничение на теорию: теория должна быть четной функцией вектора положения. Например, для реального скалярного поля ф ( т , Икс ) , оператор кинетической энергии в лагранжевой плотности, ∂ мю ∂ мю ф ( Икс ) инвариантен относительно четности. На самом деле это только действие ( С "=" ∫ г 4 Икс л ), которые должны быть инвариантны относительно преобразования симметрии. (Часто это сводится к инвариантности плотности лагранжиана.) Таким образом, каждый член лагранжиана (плотности) не обязательно должен быть инвариантным (хотя это часто имеет место).

Возвращаясь к уравнению Дирака — полное утверждение, на словах, инвариантности теории взаимодействия электронов со светом (КЭД) относительно дискретных преобразований ( п , С , & Т ) состоит в том, что теория инвариантна относительно каждого из них в отдельности или в любой комбинации. (КЭД менее «интересна», чем электрослабая теория в этом отношении, поскольку электрослабая теория, по-видимому, нарушает все три из них по отдельности — но, возможно, не все одновременно.)

Мы должны помнить, что инвариантность относительно С требует преобразования не только волновой функции, ψ С ≡ С ψ С − 1 "=" С γ 0 Т ψ * но и заряд, д → − д . В случае свободного уравнения Дирака/лагранжиана, рассмотренного выше, заряд не фигурирует, поэтому он не имеет прямого отношения к настоящему обсуждению, но важно иметь в виду.

Теперь прямые ответы на ваши вопросы. (Я не буду заниматься алгеброй, поскольку, если вы можете выполнить вычисления для самого уравнения Дирака, преобразование лагранжиана должно быть простым.)

«Предположим, мы воздействуем C на лагранжиан Дирака, что мы должны получить?» Исправленное отношение:

С л Д я р а с ( Икс мю ) С − 1 "=" л Д я р а с ( Икс мю )

(Кстати, ваше соотношение оказывается правильным, поскольку лагранжиан (плотность) должен быть эрмитовым, скалярным оператором, поэтому л * "=" л † "=" л . РЕДАКТИРОВАТЬ: Спасибо Омкару за то, что он указал, что это неправильно. л * ≠ л . )

В то же время можно спросить, какому уравнению должна удовлетворять ψC? Если он удовлетворяет сопряженному уравнению Дирака как

> ( я γ мю ∂ мю + м ) ψ С "=" 0 ?

Если вы используете показатель "Западное побережье" ( + 1 , − 1 , − 1 , − 1 ) то уравнение, которое ψ С должен удовлетворить тот, что выше с м → − м . То есть свободное уравнение Дирака одинаково для ψ и ψ С . Это связано с тем, что массы частицы и античастицы идентичны, как впервые угадал Дирак. (Если вы используете метрику противоположного знака, то ваше уравнение верно.)

Спасибо за ваш ответ. Я согласен с вашим аргументом относительно лагранжиана. И даже ваш аргумент относительно формы уравнения звучит правильно, и этого следует ожидать, учитывая, что лагранжиан такой же. Однако я сделал расчет и обнаружил обратное. Расчет приведу в вопросе, может ошибаюсь.
другое дело, что хотя л является эрмитовым, я думаю, что это не реально, так как термин ψ ¯ ψ не реально. Следовательно, вы не можете сказать л * "=" л
Я вижу ошибку в приведенном выше. Вы должны иметь: γ 0 γ мю ∂ мю "=" ( γ 0 ∂ т − γ я ∂ я ) γ 0 . Я бы не стал делать это таким образом. Я получаю правильный результат, начиная с уравнения Дирака для ψ , взяв комплексное сопряжение и показав, что С ∝ γ 2 (в том, что иногда называют представлением Дирака γ матрицы). И ты прав, что л * ≠ л . Простите за это.
Еще раз извините -- С должно быть ∝ γ 2 γ 0 . (Я использую соглашения Bjorken & Drell.)
Да, вы правы, мои записи плохие, я использую очень плохую книгу :\. Кстати γ 0 γ мю ∂ мю "=" γ 0 γ 0 ∂ т − γ 0 γ я ∂ я "=" γ 0 γ 0 ∂ т + γ я γ 0 ∂ я "=" ( γ 0 ∂ т + γ я ∂ я ) γ 0
Омкар, это обычная ошибка, которую вы сделали в приведенной выше строке для γ мю ∂ мю . Учитывать а мю б мю "=" а 0 б 0 + а я б я -- знака минус нет, так как вы еще не понизили индекс. Правильное соотношение: γ мю ∂ мю "=" γ 0 ∂ 0 − ∑ я "=" 1 3 γ я ∂ я .

Это зависит от определения оператора зарядового сопряжения. Ваше определение

ψ с "=" С γ 0 Т ψ ⋆ .
меняет знак массового члена в уравнении Дирака (или, что то же самое, знак кинетического члена, если мы умножаем уравнение на знак минус). Если мы добавим доп. γ 5 (или я γ 5 , что равносильно глобальному фазовому преобразованию.) к вашему определению зарядового сопряжения,
ψ с "=" γ 5 С γ 0 Т ψ ⋆ ,
вуаля! зарядовое сопряжение вернет вас к исходному уравнению Дирака в силу
γ 5 γ мю "=" − γ мю γ 5 .

Что происходит с лагранжианом теории Дирака при зарядовом сопряжении?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v