Как быть с квантовым полем в знаменателе?

Я хотел бы дать вам некоторое общее представление о процедуре интегрирования класса операторов, просто чтобы иметь представление о том, как обращаться с этими математическими объектами (что разрешено, а что нет). Ключевые отношения, которые полностью определяют ваш оператор, резюмируются в (1) ниже.

В общем, если у вас есть класс операторов$\{A(s)\}_{s\in S}$, с$A(s) : D \to H$для некоторого общего домена$D \subset H$($H$являющееся гильбертовым пространством теории), и с$S$задано некоторым множеством, снабженным положительной мерой$\mu$, можно определить интегральный оператор:

$$\int_S A(s) d\mu(s)$$ со следующими шагами.

Предполагая, что для каждого$\phi\in D$, карта

$$S \ni s \mapsto ||A(s) \phi||$$ является $\mu$интегрируемым и что для каждого $\phi\in D$и $\psi \in H$, карта $$S \ni s \mapsto \langle \psi | A(s) \phi \rangle$$ измеримо, то $$H \times D \ni (\psi,\phi) \mapsto Q(\psi, \phi):= \int_S \langle \psi | A(s) \phi \rangle d\mu(s)\:.$$ хорошо определено, так как $$|\langle \psi | A(s) \phi \rangle| \leq ||\psi|| ||A(s) \phi||\:$$ Просто доказано, что $Q(\cdot, \cdot)$линейна в правой щели и антилинейна в левой, причем: $$|Q(\psi, \phi)|\leq C||\psi|| \:.$$ Из теоремы Рисса легко следует, что для любого $\phi\in D$существует уникальный вектор, обозначенный $$\int_S A(s) \phi d\mu(s)$$ такой, что если $\psi\in H$: $$Q(\psi, \phi) = \left\langle \psi |\int_S A(s) \phi d\mu(s) \right\rangle \:.$$ По конструкции, поскольку $Q$является праволинейным, можно обнаружить, что $$D \ni \phi \mapsto \int_S A(s) \phi d\mu(s)$$ также является линейным.

Таким образом, при достаточно мягких гипотезах существует единственный линейный оператор, обозначаемый как$\int_S A(s) d\mu(s)$и определено на$D$, такой что:

$$\left\langle \psi |\int_S A(s) d\mu(s) \phi \right\rangle = \left\langle \psi |\int_S A(s)\phi d\mu(s) \right\rangle = \int_S \langle \psi | A(s) \phi \rangle d\mu(s)\tag{1}$$ для каждого $\phi \in D$и $\psi \in H$. Из этих тождеств можно вывести некоторые свойства из $A(s)$к $\int_S A(s) d\mu(s)$. Например, если $A(s)$s эрмитовы, $\int_S A(s) d\mu(s)$является. Если $||A(s)|| <K <+\infty$для некоторых $K$и все $s\in S$, затем $\int_S A(s) d\mu(s)$ограничено и так далее.

В твоем случае$s=\theta$, я ожидаю, что все задействованные операторы зависят от$\theta$каким-то образом (эти подробности в статье мне неясны), и вы должны использовать (1) для определения желаемого оператора: существует только один оператор, удовлетворяющий ему. Очевидно$1/(T+T^\dagger)$следует понимать как$(T+T^\dagger)^{-1}$(обратный оператор).