Как узнать, завершен ли набор коммутирующих наблюдаемых?

Question

Как узнать, завершен ли набор коммутирующих наблюдаемых?

Рикардо Корреа да Силва

Мы определяем полный набор коммутирующих наблюдаемых как набор наблюдаемых $\{A_1,\ldots, A_n\}$ так что:

$\left[A_i, A_j\right]=0$ , для каждого $1\leq i,~j \leq n$ ;
Если $a_1,\ldots, a_n$ являются собственными значениями $A_1,\ldots, A_n$ соответственно существует единственное состояние $\psi$ такой, что $A_i\psi=a_i\psi$ .

Мне было интересно, есть ли теорема или стандартная процедура, чтобы сказать, является ли набор наблюдаемых полным. В конечномерных пространствах это кажется совсем простым, но как это сделать в бесконечномерных пространствах, в частности, когда вырождение также бесконечно?

Несколько практических вопросов:

Как доказать $\{H,L^2,L_z\}$ представляет собой полный набор, где $L$ - угловой момент, $L_z$ это $z$ -направленная составляющая $L$ , и $H=\frac{1}{2m}\nabla^2-\frac{e^2}{r}$ это гамильтониан?
Как доказать $\{H,L_z\}$ полный набор в случае уровней Ландау?

Космас Захос

Связанные .

ЭММАНУЭЛЬ ФАЗАСИ

Полный набор примеров коммутирующих наблюдаемых

Ответы (2)

Как узнать, завершен ли набор коммутирующих наблюдаемых?

Полный набор примеров коммутирующих наблюдаемых

ФГСУЗ · Answer 1

Оно полное, если существует только один базис общих собственных векторов. Это означает, что существует только один базис, в котором матрицы являются диагональными матрицами.

Начнем только с 2: операторы $A$ и $B$ . Если $[A,B]=0$ , существует по крайней мере один ортонормированный базис общих собственных векторов.

Если собственные значения $A$ не имеют вырождения, то базис уникален (кроме глобальных фазовых множителей), а значит, множество полно .

Если $A$ имеет вырожденные собственные значения, то они образуют подпространства (матрица имеет прямоугольники по диагонали). $B$ действует на каждое подпространство, не сливаясь с другими.

Внутри каждого подпространства можно найти основу $B$ который создает под-под-пространства (под-боксы).

Если эти подпространства более чем одномерны, то система неполна, но есть третья коммутирующая наблюдаемая $C$ что может сделать матрицы диагональными.

Может быть более 1 CSCO с разными собственными значениями.

Для данного CSCO собственные значения всех операторов определяют только один общий собственный вектор.

Что касается практического вопроса, вы можете показать это на конкретном случае.

Но можно показать, что любая сферически-симметричная установка удовлетворяет $[H,\vec{L}]=0$ , и поэтому есть $[H, L^2]=0, \ [H, L_z]=0$ .

Это связано с тем, что любая система, инвариантная относительно вращений, подтверждает, что $H$ коммутирует с вращениями, а вращения являются функцией $\vec{L}$ , так $[H, \vec{L}]=0$ . Доказывать долго, но очень красивая тема.

Примечание : инвариант при вращении означает, что вы получите тот же результат, если: а) Позвольте ему развиваться во времени, а затем поверните его. б) Сначала поверните его, а затем дайте ему развиваться.

Джеффри · Answer 2

Джеффри

Как правило, если вы знаете, что один набор квантовых чисел является полным, то вы знаете, что любой другой полный набор должен содержать такое же количество квантовых чисел, что является удобным способом проверки результатов. Кроме того, количество отделимых степеней свободы также соответствует количеству квантовых чисел. В вашем примере электрон имеет 3 степени свободы вокруг атома (4 со спином), поэтому систему определяют 3 или 4 квантовых числа. В уровнях Ландау у него всего 2 степени свободы.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Возможно, это еще один важный момент, на который стоит обратить внимание: набор коммутирующих операторов является полным, если он представляет максимальное количество линейно независимых коммутирующих операторов в пространстве. Как правило, это сложный факт для доказательства при заданном наборе операторов-кандидатов.

Рикардо Корреа да Силва

Это не кажется правдой. Поскольку коммутирующие операторы могут быть диагонализированы одновременно, я сосредоточусь на диагональных операторах, чтобы привести пример. Рассмотрим систему в четырехмерном гильбертовом пространстве и следующие коммутирующие положительные операторы

Рикардо Корреа да Силва

A = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{matrix}]

$A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ \end{bmatrix}$ ,

B = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$B=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$ ,

C = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{matrix}]

$C=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ \end{bmatrix}$ . Затем

{A, B}

$\{A,B\}$ и

{C}

$\{C\}$ представляют собой полные наборы коммутирующих наблюдаемых с разным количеством квантовых чисел. Это правильно?

Джеффри

@CorreadaSilva Здесь есть пара проблем. Во-первых, непонятно, какую систему вы моделируете с помощью этих наборов матриц. Оба набора должны моделировать одну и ту же систему, чтобы мы могли даже осмысленно сравнивать QN. Во-вторых, эти наборы не кажутся мне полными. В обоих наборах есть другие матрицы, линейно независимые от них и коммутирующие со всеми членами набора. Нам нужно иметь максимальное количество LI и коммутирующих матриц, чтобы сказать, что набор полный.

Джеффри

@RicardoCorreadaSilva Упс, в первый раз я перепутал тег. Во всяком случае, я нашел кое-что, чтобы добавить. А именно, этот вопрос тесно связан с проблемой коэффициентов Клебша-Гордана и вызывает недоумение у некоторых людей: несвязанный базис (прямое произведение спиновых состояний) имеет такое же количество базисных векторов и коммутирующих операторов, что и связанный базис (прямой сумма спиновых состояний). Например,

\frac{3}{2} ⨂ \frac{3}{2} = 3 ⨁ 2 ⨁ 1 ⨁ 0

$\frac{3}{2}\bigotimes\frac{3}{2}=3\bigoplus 2\bigoplus 1\bigoplus 0$ , и в обоих случаях пространство определяется 4 операторами (и, следовательно, 4 QN) и 16 базисными векторами.

Рикардо Корреа да Силва

На самом деле я не хочу конкретизировать систему, я надеялся на общий ответ. Что ж, наборы полны, как вы можете видеть в приведенном выше определении, и, как и в коэффициентах Клебша-Гордана, существует соответствие между базисом: (i) в наборе

{A, B}

$\{A,B\}$ векторы можно определить как

| 1, 1 >= (1, 0, 0, 0)

$|1,1>=(1,0,0,0)$ ,

| 1, 2 >= (0, 1, 0, 0)

$|1,2>=(0,1,0,0)$ ,

| 1, 3 >= (0, 0, 1, 0)

$|1,3>=(0,0,1,0)$ и

| 2, 1 >= (0, 0, 0, 1)

$|2,1>=(0,0,0,1)$ ; (ii) в наборе

{C}

$\{C\}$ векторы можно определить как

| 1 >= (1, 0, 0, 0)

$|1>=(1,0,0,0)$ ,

| 2 >= (0, 1, 0, 0)

$|2>=(0,1,0,0)$ ,

| 3 >= (0, 0, 1, 0)

$|3>=(0,0,1,0)$ и

| 4 >= (0, 0, 0, 1)

$|4>=(0,0,0,1)$ . Но это отношение между векторами.

Джеффри

@RicardoCorreadaSilva Я думаю, вы упускаете мою мысль. Любой общий ответ зависит от конкретных систем, которые должны применяться последовательно. Я имею в виду, что если вы не укажете симметрии или гамильтониан вашего гильбертова пространства, то нет никакого способа определить, определяют ли два набора наблюдаемых одно и то же пространство. Пример, который вы привели, либо тривиален, либо не имеет ответа. Если вы утверждаете, что оба набора моделируют одну и ту же систему, я не могу это проверить, пока вы не укажете целевое гильбертово пространство. Если предполагается, что это просто E3, то подойдет любая одиночная матрица 4x4 с уникальными собственными значениями, но вы это уже знали.

Джеффри

@RicardoCorreadaSilva Ваш ответ здесь, если вы готовы его принять. Целевое гильбертово пространство конкретной квантовой системы натянуто одновременными собственными векторами ряда герметических операторов, равного количеству отделимых степеней свободы этой системы. Это число представляет собой максимальный набор коммутирующих операторов, которые подчиняются симметрии системы. Например, спиновые состояния могут быть однозначно заданы одним оператором (

L_{z}

$L_z$ ), но на самом деле вам нужно 2 оператора, потому что

\vec{L}

$\vec L$ по-прежнему является степенью свободы, несмотря на то, что, по-видимому, не ограничивает собственные векторы.

Как узнать, завершен ли набор коммутирующих наблюдаемых?

Рикардо Корреа да Силва

Космас Захос

ЭММАНУЭЛЬ ФАЗАСИ

Ответы (2)

ФГСУЗ

Джеффри

Рикардо Корреа да Силва

Рикардо Корреа да Силва

Джеффри

Джеффри

Рикардо Корреа да Силва

Джеффри

Джеффри

Теорема Стоуна-фон Неймана

Среднее значение коммутатора в квантовой механике

Как доказательство коммутативности операторов работает с прерывистыми операторами?

Теорема о совместной спектральной мере

Собственные векторы pxpxp_x в конкретном домене

Можно ли рассматривать собственные состояния гильбертова пространства как дельта-функции?

Симметричные (по существу) самосопряженные операторы и спектральная теорема

Существует ли функция, интегрируемая с квадратом и не стремящаяся к нулю на бесконечности, но принадлежащая области определения оператора импульса?

От спектральной теоремы к соотношению полноты в квантовой механике

Почему операторы лестницы не ездят на работу?