В статье Стэнфордской философской энциклопедии «Платонизм в философии математики» дается следующая формализация существования математического объекта:
Существование можно формализовать как «∃xMx», где «Mx» сокращает предикат «x — математический объект», который истинен для всех и только для объектов, изучаемых чистой математикой, таких как числа, множества и функции.
Мне любопытно, как эти объекты строго определяются и отличаются от других объектов. Ясно, что какая-то естественная интуиция подсказывает, что функция является математическим объектом, а гора — нет. Однако я не уверен, является ли удовлетворительным различие между тем, что функция изучается в чистой математике, а гора — нет: кажется, что если бы все люди перестали изучать математику (или если бы мы вообще никогда не начинали), функция останется математическим объектом, а гора никогда им не станет, независимо от действий людей.
SEP узко характеризует то, как математика понимается в платонизме. Например, Плотин в своих «Эннеадах» пишет:
Математика, которую он, как ученик по своей природе, усвоит очень легко, будет предписана для обучения его абстрактному мышлению и вере в бестелесное. Нравственное существо по природному характеру, он должен быть ведом, чтобы сделать свою добродетель совершенной. После математики он должен пройти курс диалектики и стать знатоком науки.
Это более или менее происходит от Платона. Отсюда и платонизм. Сосредоточиться на онтологическом статусе математики, исключив все остальное в платонизме, значит, например, при исследовании статуи отмечать только пальцы ног и не рассматривать статую в целом.
То, что считается математическим объектом, в конечном счете условно. Числа, множества, отношения, функции и т. д. использовались задолго до того, как было доступно какое-либо онтологически строгое определение того, что такое математический объект, и до того, как стали доступны какие-либо математически строгие определения этих объектов.
Исследования Фреге, Рассела, Цермело, Френкеля и других в начале 20 века показали, что множества можно считать базовыми математическими объектами в том смысле, что
Эти аксиомы вместе можно рассматривать как неявно определяющие, что такое множества. Это понимание является важной вехой в философии математики (и, собственно, онтологии). Прежде чем набор из нескольких аксиом был принят в качестве определения, были написаны толстые книги о том, какими могут быть множества. Но безрезультатно.
Хотя капля горечи осталась. С онтологической точки зрения было бы прекрасно, если бы математика, основанная на множествах, не только исключительно хорошо работала в естественных науках, но и если бы можно было доказать непротиворечивость множества аксиом. Однако, как показал Гедель в 1931 году, это (я упрощаю здесь) невозможно.
Поэтому, на мой взгляд, лучшим аргументом в пользу существования математических объектов остается успех целостной системы естественных наук, в которой эти математические объекты играют столь важную роль.
Являются ли математические объекты независимыми объектами, т. е. являются ли они объективными, — вопрос, по-видимому, вытекающий из термина « платонизм» в записи SEP. Если вас интересуют математические объекты как человеческие конструкции, я бы рекомендовал взглянуть на интуиционистский философский подход.
Одно различие вполне устоялось: математические объекты являются абстрактными сущностями, т. е. они не находятся ни во времени, ни в пространстве. Фреге предположил, что число n — это класс множеств, содержащих n элементов. В некотором смысле это верно для определений в теории множеств.
Каждое число имеет в качестве ссылки набор. Существует аксиоматическая система, которая
Пустое множество считается нулем, потому что оно не имеет элементов. Из него строятся другие натуральные числа.
Пример построения А. АКСИОМА ПАРЫ: Если у вас есть множества x и y, то множество {x,y} существует.
Ну, предположим, что x=y= ∅ (пустое множество). Тогда {∅, ∅} существует, тождественно {∅} (по аксиоме экстенсиональности).
(Теперь у нас есть другой набор: {∅} ({∅}=1}, который отличается от ∅ и является преемником нуля)
B. Учитывая любое число, мы можем произвести его преемник. Для любого n+1 n +1 — это множество, состоящее из элементов n и самого n.
Этот процесс строит слои множеств (в терминах количества или, правильнее, его мощности ) и охватывает все натуральные числа и действительные числа.
Однако не все наборы создаются с последующими операциями. Те, которые не являются, называются предельными кардиналами , и они определяют мощность бесконечностей чисел. Эти предельные кардиналы также бесконечны в процессе бесконечного применения аксиомы частей к предельным кардиналам, что доказало установление разницы в количествах между любым набором и набором его частей.
Итак, их бесконечно много бесконечностей. Если вы так не думаете, вы придете к противоречию, подобному тому, которое мы находим, пытаясь угадать наибольшее натуральное число. Для любого n n + 1 больше. Для любого предельного кардинального множество его частей больше.
Например, именно так вы определяете числа в теории множеств. Математика в целом не эквивалентна теории множеств, но теория множеств охватывает широкий круг тем.
Конифолд