Как показать инвариантность некоторого значения с помощью представлений теории групп?

Давайте иметь спинор Дирака Ψ ( Икс ) . Он трансформируется как ( 1 2 , 0 ) ⊕ ( 0 , 1 2 ) представление группы Лоренца:

Ψ "=" ( ψ а κ а ˙ ) , Ψ ′ "=" С ^ Ψ .
Давай спинор Ψ ¯ ( Икс ) , который преобразуется также как ( 1 2 , 0 ) ⊕ ( 0 , 1 2 ) , а как косинор:
Ψ ¯ "=" ( κ а ψ а ˙ ) , Ψ ¯ ′ "=" Ψ ¯ С ^ − 1 .
Как показать формально, что
Ψ ¯ Ψ "=" я н в ?
Я имею в виду, что если Ψ Ψ ¯ относится к прямому произведению (поправьте, пожалуйста, если ошибся)
[ ( 1 2 , 0 ) ⊕ ( 0 , 1 2 ) ] ⊗ [ ( 1 2 , 0 ) ⊕ ( 0 , 1 2 ) ] ,
какой групповой операции соответствует Ψ ¯ Ψ ?

Этот вопрос сильно связан с этим .

Ответы (3)

Вам нужно выработать тензорное произведение и найти прямую сумму различных вкладов

[ ( 1 / 2 , 0 ) ⊕ ( 0 , 1 / 2 ) ] ⊗ [ ( 1 / 2 , 0 ) ⊕ ( 0 , 1 / 2 ) ] "=" ( ( 1 / 2 , 0 ) ⊗ ( 1 / 2 , 0 ) ) ⊕ ( ( 1 / 2 , 0 ) ⊗ ( 0 , 1 / 2 ) ) ⊕ ( ( 0 , 1 / 2 ) ⊗ ( 1 / 2 , 0 ) ) ⊕ ( ( 0 , 1 / 2 ) ⊗ ( 0 , 1 / 2 ) ) "=" ( 0 , 0 ) ⊕ ( 1 , 0 ) ⊕ ( 1 / 2 , 1 / 2 ) ⊕ ( 1 / 2 , 1 / 2 ) ⊕ ( 0 , 1 ) ⊕ ( 0 , 0 )
Теперь состояния можно классифицировать:

  • ( 0 , 0 ) является скаляром или псевдоскаляром, т.е. ψ ¯ ψ вы ищете, а также ψ ¯ γ 5 ψ
  • ( 1 / 2 , 1 / 2 ) вектор / псевдовекторный компонент ψ ¯ γ мю ψ или ψ ¯ γ мю γ 5 ψ
  • (1, 0) и (0, 1) — (анти)-самодуальные части тензора ψ ¯ о мю ν ψ

Все они четко трансформируются под бустами Лоренти. ( 0 , 0 ) часть говорит вам, что это представление не будет трансформироваться ни при левой хиральности, ни при правой хиральности с л ( 2 ) по которым вы классифицируете повторения.

Изменить: позвольте мне добавить, что закон распределения, который я использовал выше для перехода от первой строки ко второй, является одной из причин, по которой мы говорим о «прямой сумме» и «прямом продукте».

Но как преобразовать это выражение в ( 0 , 0 ) ? И в чем разница между Ψ ¯ Ψ и Ψ Ψ ¯ (смотрите здесь: physics.stackexchange.com/questions/104688/… )?
В ψ ¯ ψ "=" ∑ α ψ ¯ α ψ α вы сокращаете спинорные индексы между двумя спинорами. В этом смысле это биспинорный скаляр группы Лоренца. ψ ψ ¯ "=" ψ α ψ ¯ β является матрицей в спинорном пространстве.
Значит, в обоих случаях я буду оперировать прямым произведением представлений и на групповом языке (который использовался в вашем ответе) между этими случаями нет различий? Мне нужно написать тег ( 1 2 , 0 ) с ⊕ ( 0 , 1 2 ) с , что соответствует для Ψ ¯ и означает, что его компоненты трансформируются как косиноры?
И еще один (связанный с предыдущим) вопрос: на случай Ψ ¯ Ψ соответствующее значение является нулевым рангом матрицы, но для случая Ψ Ψ ¯ соответствующее значение относится к матрице второго ранга. Как это учитывается в записи прямого произведения в обоих случаях?
ψ ψ ¯ не является тензорным произведением представлений Лоренца, просто невозможно построить объект, который не является скаляром в синорных координатах и ​​при этом является представлением алгебры Лоренца. Это аналогично осознанию того, что сложение двух полуцелых угловых моментов всегда дает целые результаты, т.е. 1 / 2 ⊗ 1 / 2 "=" 0 ⊕ 1 . Невозможно создать какой-то полуцелый результат. Объект ψ ψ ¯ существует, но не должен правильно преобразовываться при преобразованиях Лоренца.

Если мы предположим, что

Ψ ′ "=" С ^ Ψ

и

Ψ ¯ ′ "=" Ψ ¯ С ^ − 1 ,

следует, что произведение двух преобразований как

( Ψ ¯ Ψ ) ′ "=" Ψ ¯ ′ Ψ ′ "=" Ψ ¯ С ^ − 1 С ^ Ψ "=" Ψ ¯ Ψ ,

что является следствием

С ^ − 1 С ^ "=" 1 .

Мой вопрос был следующим: "...Я имею в виду, что если Ψ Ψ ¯ относится к прямому произведению, какой групповой операции соответствует Ψ ¯ Ψ «..». Итак, я хочу получить групповую операцию (например, прямое произведение), которая покажет мне, что Ψ ¯ Ψ ≡ ( 0 , 0 ) . Не языком матриц преобразования. Простите меня за мое невнятное объяснение.

короткий ответ, если С ^ − 1 С "=" я

могу привести общий пример ψ † ψ не являясь инвариантом.

потому что для Дирака спинор ψ у которых есть следующие правила преобразования

ψ ( Икс ) → С [ Λ ] ψ ( Λ − 1 Икс ) "=" С [ Λ ] ψ ( Икс ′ ) ψ † ( Икс ) → ψ † ( Λ − 1 Икс ) С [ Λ ] †
Так ψ † ψ → ψ † ( Λ − 1 Икс ) С [ Λ ] † С [ Λ ] ψ ( Λ − 1 Икс ) инвариантно тогда и только тогда, когда С [ Λ ] † С [ Λ ] "=" я

однако для случая, когда С [ Λ ] образованы алгеброй Клиффорда, можно показать, что это не так. У меня нет возможности показать вам, что они, сопряженные по Дираку, удовлетворяют этому условию.

Как показать инвариантность некоторого значения с помощью представлений теории групп?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v