Как получить форму инвариантного спинорного внутреннего продукта?

Итак, у нас есть гамма-матрицы, удовлетворяющие соотношениям пространственно-временной алгебры,$\{\gamma^\mu, \gamma^\nu\} = 2 \eta^{\mu\nu}$. Мы знаем, что если установить$\sigma^{\mu\nu} = \frac{1}{4}[\gamma^\mu, \gamma^\nu]$затем$\sigma$матрицы образуют основу для представления алгебры Ли Лоренца.

Теперь мы хотим построить лоренц-инвариантный скалярный продукт на спинорном пространстве. Скалярный продукт на конечномерном комплексном векторном пространстве всегда принимает вид

$$\tag{1} \langle u, v \rangle = v^\dagger H u$$

где$H$является эрмитовой матрицей. Как мы можем построить$H$вообще без "угадывания"?

Явно такой$H$должен удовлетворить

$$\tag 2 S^\dagger H S = H$$

где$S$является произвольным преобразованием Лоренца, действующим на спиноры, и взятие производной в единице дает эквивалентное условие

$$\tag{3} \sigma^\dagger H + H \sigma = 0$$

где$\sigma$представляет собой произвольную линейную комбинацию$\sigma^{\mu\nu}$с.

Обычный подход, который я вижу, состоит в том, чтобы выбрать представление гамма-матриц с$\gamma^0$Эрмитов и$\gamma^i$антиэрмитовский для$i = 1, 2, 3$. В этом случае легко проверить, что (3) выполняется, если положить$H = \gamma^0$. Это дает лоренц-инвариантный внутренний продукт

$$\tag{4} \langle u, v \rangle = v^\dagger \gamma^0 u$$

который мы также можем записать как

$$\tag{5} \langle u, v \rangle = \overline{v} u$$

с$\overline{v} = v^\dagger \gamma^0$. Это стандартно, но, кажется, требуется угадать , что мы должны сделать$\gamma^0$Эрмитов и$\gamma^i$антиэрмитовский. Более того, я чувствую, что это представление вводит в заблуждение, поскольку оно, по-видимому, выделяет привилегированное направление в пространстве-времени, а именно направление времени в фиксированной системе отсчета.

Вопросы:

1. Так ли это,$H$всегда должно быть скалярным кратным$\gamma^0$для того, чтобы (3) выполнялось? Если да, то почему?
2. Если нет, то как мы можем построить соответствующий$H$задано произвольное представление$\gamma^\mu$алгебры пространства-времени?
3. Можно ли это сделать, не полагаясь на то, что$\eta$диагональ? Если да, то как? Если нет, то почему?