Векторное и спинорное представление в теории суперструн Рамона-Неве-Шварца

Да, они представляют$SO(8)$, точнее$Spin(8)$что является "улучшением"$SO(8)$что позволяет представить поворот на 360 градусов матрицей, отличной от единичной матрицы, а именно минус-единичной матрицей.

${\bf 8}_v$нормально трансформируется как

$$v\mapsto M v$$ где $MM^T=1$это $8\times 8$действительный ортогональный $SO(8)$матрица. Представители спинора ${\bf 8}_s\oplus {\bf 8}_c$обозначьте соответственно левый и правый спинор. Люди обычно изучают спиноры задолго до того, как изучают теорию струн RNS.

Спинорное представление трансформируется при$SO(8)$таким образом, который полностью закодирован правилами преобразования при бесконечно малом$SO(8)$преобразования,$1+i\omega_{ij} J^{ij}$где$\omega$параметры угла и$J$являются генераторами.

В спинорном представлении Дирака$J_{ij}$записывается как

$$J_{ij} = \frac{\gamma_i \gamma_j - \gamma_j\gamma_i}{4}$$ где $\gamma$матрицы Дирака, которые могут быть записаны как тензорные произведения матриц Паули и единичной матрицы и подчиняются $$\gamma_i\gamma_j+\gamma_j\gamma_i = 2\delta_{ij}\cdot {\bf 1}$$ Каждая пара добавленных измерений удваивает размер матрицы Дирака, поэтому размерность полного представления «Дирака» для $SO(2n)$является $2^n$. Для $n=4$мы получаем $2^4=16$.

Это 16-мерное спинорное представление реально и может быть разделено по собственному значению$\Gamma_9$матрица киральности, к 8-мерным киральным (=Вейля) спинорным представлениям, помеченным индексами s,c.

Для$SO(8)$, существует 3 реальных 8-мерных неприводимых представления, которые «одинаково хороши» и на самом деле могут быть переставлены операцией, называемой «тройственностью». Эту операцию можно рассматривать как$S_3$перестановка симметрии 3-х ножек Mercedes-логотипа$SO(8)$Диаграмма Дынкина. Я как раз вчера написал об этом текст:

http://motls.blogspot.cz/2013/04/complex-real-and-pseudoreal.html?m=1

Если вам действительно нужно объяснить, что такое представление группы, вам следует прервать изучение теории струн и сосредоточиться на теории групп — ключевых словах группы Ли, алгебры Ли и теория представлений. Без этого фона вы бы слишком часто сталкивались с подобной путаницей.