Как именно суперструны уменьшают количество измерений в теории бозонных струн с 26 до 10 и удаляют тахионы?

Во-первых, критический размер. Существует множество способов (на первый взгляд неэквивалентных, но в конечном счете дающих один и тот же результат) для вычисления$D=10$для суперструны, которые отражают методы вычисления$D=26$для бозонной струны.

Для бозонной струны можно использовать конформно-инвариантную теорию мирового листа. Из-за остаточной конформной симметрии он должен иметь$bc$призраки. Центральный заряд г.$bc$система$c=1-3k^2$где$k=2J-1$где$J$размер$b$антипризрак, в данном случае$J=2$. Вы видите, что мои формулы подразумевают$k=3$и$c=1-27=-26$поэтому нужно добавить 26 бозонов, то есть 26 измерений пространства-времени, чтобы получить$c=0$в итоге.

Теперь для суперструны локальные симметрии на мировом листе усиливаются от обычной конформной группы до$N=1$суперконформная группа. Нужно добавить$\beta\gamma$(бозонные) духи для новых (фермионных) генераторов. Их размерность$J=3/2$, отличается от$J=2$из$bc$к$1/2$, как обычно для разности спинов вещей, связанных суперсимметрией. Ты видишь это$k=2J-1=2$и$3k^2-1=12-1=11$. Теперь центральный заряд$\beta\gamma$является$3k^2-1$и не$1-3k^2$, знак противоположный, потому что они бозоны.

Итак$bc$и$\beta\gamma$иметь$c=-26+11=-15$. Этот минус пятнадцать должен быть компенсирован 10 бозонными полями и 10 фермионными полями (чьи$c=1/2$по измерению: обратите внимание, что фермион — это половина бозона) и$10+10/2=15$так что общая$c=0$. Если некоторые из приведенных выше шагов непонятны, это почти наверняка связано с тем, что читатель не знаком с основами конформной теории поля, а объяснить конформную теорию поля без конформной теории поля невозможно. Это целая тема, а не то, что должно быть написано как один ответ на этом сервере.

В этом формализме с фермионами нового мирового листа$\psi^\mu$преобразовываясь как векторы пространства-времени, нужно защищать соотношение спин-статистика. Векторные фермионы нарушают его, поэтому они разрешены только парами. Это достигается с помощью проекции GSO — ну, на самом деле есть две проекции GSO, одна отдельная для левых и одна для правых. Только 1/4 состояний сохраняется в спектре. Проекция - это обратная сторона наличия четырех секторов - фермионы, движущиеся влево и вправо, могут независимо быть периодическими или антипериодическими. Месяц назад я писал о прогнозе ГСО:

http://motls.blogspot.com/2012/11/david-ian-olive-1937-2012.html?m=1

Опять же, если что-то непостижимо и неполно, то только потому, что на самом деле это не одно изолированное озарение, которое неспециалист может понять из одного предложения. Это один из многих технических результатов, вытекающих из большого предмета — теории струн, — которую необходимо систематически изучать, если кто-то хочет ее понять.

На мой взгляд, лучший способ увидеть это — использовать CFT мирового листа, как уже было объяснено. Но вы также можете использовать калибровку светового конуса для получения критической размерности, требуя лоренц-инвариантности, как и в бозонном случае.

Возможно, вы знаете, что состояния суперструны делятся на NS-сектор и R-сектор в зависимости от граничных условий полей мирового листа. Сектор R имеет целые бозонные моды, а сектор NS имеет полуцелые фермионные моды.

Теперь, точно так же, как и при квантовании светового конуса для бозонной струны, мы должны обеспечить обращение в нуль нулевой моды алгебры Вирасоро. Однако здесь также присутствует сверхток, нулевая мода которого должна обращаться в нуль в физических состояниях. Но сверхток будет иметь только нулевую моду в R-секторе, потому что он имеет полуцелые моды в NS-секторе.

В секторе NS у нас есть основное состояние, которым будет тахион, который устраняется проекцией GSO. Первое возбужденное состояние получается действием на основное состояние оператором$\psi_{-1/2}^i$. Так же, как и в бозонном случае, первое возбужденное состояние трансформируется как$SO(D-2)$вектор, а это означает, что это состояние должно быть безмассовым, чтобы теория была лоренц-инвариантной. Также, как и в бозонном случае, это фиксирует константу нормального порядка для нулевой моды Вирасоро, за исключением того, что теперь она равна 1/2.

В бозонной струне мы бы сделали явный расчет константы нормального порядка, чтобы связать ее с измерением пространства-времени и использовать это для определения критического измерения. Однако здесь можно использовать исчезновение сверхтока в R-секторе.

Сверхток определяется выражением$J=\psi^\mu \partial X^\mu$поэтому не может быть нормальной константы порядка. Кроме того, алгебра супер-Вирасоро говорит

$$\{J_0,J_0\} = 2\left(L_0-\frac{D-2}{16}\right)$$ Итак, совместимость с исчезновением $L_0-1/2$требует, чтобы $D=10$.

Что касается тахиона, я упомянул, что он устраняется проекцией GSO, которая исключает все состояния в NS-секторе с четным числом фермионов.