Как именно в квантовой механике мы связываем эрмитовы операторы с классическими наблюдаемыми? [дубликат]

На первом курсе квантовой механики все узнают ту или иную версию следующего утверждения:

Постулат: каждой классической наблюдаемой А физической системы соответствует эрмитов оператор А ^ таким образом, что измерение А выполняется на системе в состоянии | ψ ⟩ ожидается (в вероятностном смысле) возврата ⟨ ψ | А ψ ⟩ . Возможные результаты измерения соответствуют собственным значениям А ...

Затем человек узнает, что Икс ^ знак равно Икс оператор, соответствующий позиции, п ^ знак равно − я ℏ ∂ ∂ Икс — оператор, соответствующий импульсу, и из них можно построить операторы кинетической и потенциальной энергий, угловых моментов и т. д.

Но что произойдет, если мы захотим найти оператор, соответствующий некоторой более сложной классической наблюдаемой, скажем,

А знак равно е грех ⁡ ( Икс 2 п ) Икс + Икс п + потому что ⁡ ( п Икс ) ?
(Предположим, что мы масштабировали Икс а также п на некоторую характерную длину и импульс, так что они становятся безразмерными.) Конечно, эта причудливая величина может не иметь убедительной физической интерпретации, но в принципе она все еще является классической наблюдаемой, которую можно вычислить, зная Икс а также п . Мне кажется, что если мы серьезно относимся к этому постулату, то должна существовать четко определенная процедура, связанная с любой функцией ( Икс , п ) эрмитов оператор, действующий в соответствующем гильбертовом пространстве. Что это за процедура?

В более общем случае, если у нас есть некоторая классическая система С с конфигурационным коллектором М , мне кажется, что любая вещественнозначная функция ф : Т * М → р на фазовом пространстве С (т.е. кокасательное расслоение М ) определяет (в принципе) классически наблюдаемую величину. (Или ф должен быть непрерывным/гладким?) Квантовая механика должна предписывать механизм, который связан с любым таким ф какой-то эрмитов оператор ф ^ : л 2 ( М ) → л 2 ( М ) . Что это за механизм и как он вообще работает?

По сути, мы берем величину из классической механики, а затем преобразовываем ее в оператор, в котором ее классические значения становятся собственными значениями оператора. Затем делаем оператор эрмитовым. A — бесконечномерная матрица с непрерывными собственными значениями. Меня интересует математический ответ, хотя ..
Связано: physics.stackexchange.com/q/68686/2451 и physics.stackexchange.com/q/181078/2451 . Например, квантование Вейля обсуждается в этом посте Phys.SE.

Ответы (1)

Не существует какой-либо процедуры для однозначного связывания эрмитова оператора л к функции фазового пространства ф ( Икс , п ) . Квантовая механика — это теория, существующая независимо от классической физики. Квантовая механика — это не просто вишенка на классическом пироге, которому необходимо, чтобы классическая теория существовала в любой момент. Если мы хотим определить квантовую теорию, мы должны определить квантовую теорию. Определение не предполагает сначала нахождения классической теории, а затем нахождения связанной с ней уникальной квантовой теории.

А если серьезно, то не существует естественного изоморфизма между алгеброй операторов в гильбертовом пространстве; и алгебра функций ф ( Икс , п ) . Простейшая причина в том, что последняя является коммутативной алгеброй, а первая — нет. По этой простой причине наивная идентификация элементов с обеих сторон просто обязана быть ошибочной.

Правильная связь между квантовой механикой и классической физикой, когда бы обе они ни имели отношение, прямо противоположна: классическая физика выводится из квантовой механики. Он выводится как предел, т. ℏ → 0 предел. Но даже эта связь не совсем универсальна. Существуют квантовые теории без какого-либо классического предела.

Мы можем спросить, что такое эрмитов оператор л так что их ℏ → 0 limit производит заданную функцию ф ( Икс , п ) на фазовом пространстве. Но ответ не уникален. Возможные решения могут отличаться слагаемыми, стремящимися к нулю при ℏ → 0 .

Например, классическая наблюдаемая Икс 2 п 2 может «сгенерировать» квантовый оператор Икс ^ 2 п ^ 2 . Однако последний оператор не является эрмитовым. Его эрмитово сопряжение равно п ^ 2 Икс ^ 2 который не равен исходному. Если нам нужен эрмитов оператор, мы можем говорить, например, о

Икс ^ 2 п ^ 2 + п ^ 2 Икс ^ 2 2
но также, например, о
Икс ^ п ^ 2 Икс ^
Оба эрмитовы и наивно сводятся к классическому Икс 2 п 2 . Однако эти два эрмитовых оператора отличаются друг от друга. Они отличаются числовым кратным ℏ 2 , в таком случае.

С другой стороны, такие выражения, как ваши сложные функции — но со шляпами — хорошо определены и вычислимы (возможно, за исключением сингулярности при Икс знак равно 0 а также п знак равно − 1 в случае вашей конкретной функции). Например, экспонента оператора может быть вычислена через ряд Тейлора

опыт ⁡ ( л ^ ) знак равно ∑ н знак равно 0 ∞ л ^ н н !
Вычислимы и более сложные функции операторов. Функция грамм ( л ^ ) оператора л ^ может быть рассчитан, например, путем диагонализации л ^ т.е. писать
л ^ знак равно U Д ^ U †
куда Д является диагональным. затем
грамм ( л ^ ) знак равно U грамм ( Д ^ ) U †
Однако, грамм ( Д ^ ) вычисляется просто: мы просто применяем функцию грамм каждому диагональному элементу Д ^ .

По этой причине даже ваша функция определяет оператор, за исключением проблем сингулярности вблизи Икс знак равно 0 а также п знак равно − 1 . Ну, мы также должны уточнить, что вы подразумеваете под п / Икс – нет простого разделения операторов. Если вы определяете его как п Икс − 1 , это нечто иное, чем Икс − 1 п и т. д., потому что операторы не ездят на работу.

Однако ясно, что если не считать всех этих мелких проблем, ваш оператор не будет эрмитовым, потому что Икс ^ + Икс ^ п ^ не является эрмитовым и Икс ^ 2 п ^ не является эрмитовым, и его синус также не является эрмитовым. В какой-то момент вам пришлось бы взять эрмитову часть(и), чтобы исправить эрмитовость, но не было бы единственного способа сделать это, как объяснялось выше.

Не существует естественного способа найти оператор для функции ф ( Икс , п ) задается своими значениями, т.е. без явной формулы. Это особенно очевидно, если представить себе, что каждый ф ( Икс , п ) представляет собой непрерывную суперпозицию таких функций, как дельта ( Икс − Икс 0 ) дельта ( п − п 0 ) поддерживается одной точкой фазового пространства.

Этот дельта ( Икс − Икс 0 ) дельта ( п − п 0 ) не имеет хорошего квантового аналога, потому что хочет быть локализованным как по положению, так и по импульсу. Но принцип неопределенности запрещает такую ​​локализацию. Можно связать гауссиан с минимальной неопределенностью с этим произведением дельта-функций, но на самом деле это не «канонический выбор».

Если мы пожертвуем большинством алгебраических свойств, то между функциями и матрицами существует однозначное отображение, математика, используемая в квазивероятностном распределении Вигнера . Но у этой карты есть и другие свойства, которые могут показаться нежелательными. Продукт сопоставляется со «звездным продуктом». Кроме того, положительно определенный оператор в общем случае отображается в функцию, которая становится отрицательной для некоторых значений ( Икс , п ) , и так далее.

Извините, ЛуМо, но вы, возможно, хотели написать что-то другое в предложении « Если мы хотим определить квантовую теорию, мы должны определить квантовую теорию ». :)
Спасибо за Ваш ответ! Я предполагаю, основываясь на замечаниях в вашем третьем абзаце, что «постулаты», которым меня учили, были действительно больше похожи на эвристические принципы, чем на фундаментальные аксиомы, поскольку они явно подчеркивали переход от классической системы к соответствующей квантовой системе. Если это неправильный способ думать о вещах, то как правильно установить отношения между операторами и наблюдаемыми?
@TheDarkSide - Нет, я хотел написать именно эту тавтологию.
Уважаемый @DavidZhang - определенно неправильно использовать слово «постулат квантовой механики» для всего, что использует математические объекты из классической теории (например, фазовое пространство или функции на нем). В квантовой механике (эрмитовы) операторы и наблюдаемые — это одно и то же. Вот это отношения! Множество эрмитовых операторов изоморфно множеству эрмитовых матриц относительно данного ортонормированного базиса. Теория КМ определяется, когда есть что-то вроде матричных элементов гамильтониана (или S-матрицы) по отношению к любому базису.
Обычно такой гамильтониан определяется как функция некоторых других операторов, таких как Икс , п в простейших моделях квантовой механики, а также могут быть определены другие функции этих операторов, как я обсуждал в ответе. Но во всех этих случаях операторы некоммутирующие, поэтому все функции являются функциями некоммутирующих операторов, где важен порядок в произведении и так далее. Воображать какие-то классические коммутирующие функции за всем этим просто в корне неверно.
@LubošMotl: Вы сказали: «Квантовая механика — это теория, существующая независимо от классической физики». Я не согласен с этим. Фактически КМ основана на классической физике. Можете ли вы разработать свою собственную КМ, не прибегая к помощи классической физики? Шредингер и Гейзенберг начали свои разработки только с классической физики.
@atom - ну, ты просто в корне не прав. Что я могу сказать? Люди социологически основывались на своих знаниях классической физики, потому что это была приблизительная теория, использовавшаяся в предыдущие 3 века. Но новая теория логически не зависит от предыдущей, точно так же, как специальная или общая теория относительности — это не просто усовершенствование старой ньютоновской механики. И да, есть теории вообще без классического предела, например (2,0) суперконформная КТП в 6 измерениях на конформной точке.
Можно эвристически угадать правильную форму конкретной формы квантово-механической теории, используя ее классический предел. Но набор возможных квантовых теорий полностью отличается от набора возможных классических теорий, здесь никоим образом нет отображения 1-к-1. Кроме того, в КТП некоторые классические теории не допускают никаких квантовых родственников, например, из-за калибровочных аномалий. С другой стороны, те, которые допускают КТП, не уникальны, и все операторы более высокой размерности отражают неоднозначности. Если кто-то мыслит классически об основах, он просто еще не занимается КМ.
Так как еще никто не назвал имена: Груневолд и Ван Хов.
@LubošMotl Я вижу! Итак, если наблюдаемые являются просто синонимами эрмитовых операторов в квантовой механике, не могли бы вы уточнить, каким образом классические наблюдаемые возникают в квантовой механике? ℏ → 0 предел? Например, если мы начнем с предположения, что оператор импульса определяется выражением п ^ знак равно − я ℏ ∂ ∂ Икс , как получается классическое понятие импульса п знак равно м г Икс г т когда мы позволим ℏ → 0 ?
Дорогой @DavidZhang - формула п ^ знак равно м ⋅ г Икс ^ / г т точно верно (в простых механических моделях) даже в квантовой механике - это уравнение движения Гейзенберга для Икс ^ - так что, очевидно, он остается в силе в любом пределе, таком как ℏ → 0 , слишком. Если бы вы сформулировали другой вопрос, мог бы понадобиться другой ответ, но на ваш вопрос я дал вам очевидный ответ.
@LubošMotl Понятно. Есть ли аналогичная связь, которая показывает, как скобка Пуассона { ф , грамм } возникает как ℏ → 0 предел коммутаторной скобки [ А ^ , Б ^ ] ? Здесь есть критическая часть геометрии, встроенная в скобку Пуассона (симплектическая структура на Т * М ), который, я полагаю, должен быть скрыт где-то в лежащей в основе квантовой теории.
Да, это как раз самая осмысленная «математическая демонстрация» предела. Если выделить функции ф , грамм на фазовом пространстве как ℏ → 0 лимиты операторов Ф , грамм в квантовой теории, то ℏ → 0 предел [ Ф , грамм ] / я ℏ равна скобке Пуассона { ф , грамм } . Симплектическая структура на фазовом пространстве есть не что иное, как информация о коммутаторах соответствующих операторов.
Этот факт может быть показан на различных уровнях допущений. Но если вы сомневаетесь в этом, вам следует вычислить скобку Пуассона и коммутаторы Икс а п б а также Икс с п г . Вы всегда получите ( а г − б с ) раз Икс а + с − 1 п б + г − 1 плюс последующие исправления, возможно, раз я ℏ для коммутатора. Скобка Пуассона дает такую ​​же структуру. Так что те согласны. Все "хорошие" функции Икс , п может быть разложена в аналогичные степенные ряды, поэтому вывод общий. (Полномочия — не единственный способ доказать это, но особенно прозрачный.)
Еще более простая демонстрация взаимосвязи: для плоского фазового пространства с координатами Икс я которые включают оба д , п . Коммутатор [ Икс я , Икс Дж ] это точно( я ℏ раз) я Дж -антисимметричный тензор, определяющий симплектическую форму.
@LubošMotl Подождите, как мы выполняем идентификацию между функциями ф , грамм о фазовом пространстве и квантовых операторах Ф ^ , грамм ^ ? Учитывая некоторый эрмитов оператор Ф ^ , всегда ли так Ф ^ можно разложить в степенной ряд по Икс ^ а также п ^ ? (Если ответ «да», то я буду следить за всем после этого.)
Для одномерного гильбертова пространства QM существует бесконечно много способов записать данный оператор в терминах функций Икс ^ , п ^ . Тривиальный способ увидеть вырождение: вы всегда можете добавить множитель опыт ⁡ ( 2 π [ Икс , п ] / ℏ ) к любой форме вашего оператора, потому что это одно. ;-) Но совершенно неестественно пытаться написать данный оператор как функцию от Икс ^ , п ^ - само это искушение - еще одно доказательство того, что вы все еще мыслите классически, а не квантово-механически. Операторы по своей сути являются матрицами относительно базиса в гильбертовом пространстве.
Как именно в квантовой механике мы связываем эрмитовы операторы с классическими наблюдаемыми? [дубликат]
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v