Есть ли связь между спином и спиновой группой?

В квантовой механике спин выступает как один из типов углового момента. Действительно, в квантовой механике один угловой момент в пространстве состояний Е представляет собой тройку наблюдаемых Дж "=" ( Дж 1 , Дж 2 , Дж 3 ) такой, что

[ Дж я , Дж Дж ] "=" я ℏ ϵ я Дж к Дж к .

Из этого общего определения следует, что Дж 2 "=" ∑ я Дж я 2 и Дж 3 коммутируют, а затем мы рассматриваем их общие собственные векторы | к , Дж , м ⟩ определяется уравнениями

Дж 2 | к , Дж , м ⟩ "=" Дж ( Дж + 1 ) ℏ 2 | к , Дж , м ⟩ ,
Дж 3 | к , Дж , м ⟩ "=" м ℏ | к , Дж , м ⟩ .

Затем мы показываем, что Дж ≥ 0 и Дж является одним целым или полуцелым числом, и для данного Дж , единственно возможные значения для м являются − Дж , − Дж + 1 , … , Дж − 1 , Дж .

Теперь, с физической точки зрения, спин — это одно из внутренних свойств частиц, которое экспериментально наблюдалось в таких экспериментах, как эксперимент Штерна-Герлаха, и которое должно быть объяснено теоретически.

Затем наблюдения приводят к обычному «половинному вращению», которое теоретически определяется как частный случай углового момента. С чья единственная ценность для с является с "=" 1 / 2 и, следовательно, мы имеем м "=" ± 1 / 2 . В этом случае мы обычно рассматриваем «пространство спиновых состояний» как пространство состояний Е С где набор { С 2 , С г } является полным набором коммутирующих наблюдаемых и, следовательно, имеет размерность 2 с основой, состоящей из | + ⟩ "=" | 1 / 2 , 1 / 2 ⟩ и | − ⟩ "=" | 1 / 2 , − 1 / 2 ⟩ .

С другой стороны, у нас есть так называемая спиновая группа, обозначаемая Вращаться ⁡ ( н ) определяется как «двойное покрытие специальной ортогональной группы ТАК ⁡ ( н ) " такой, что существует короткая точная последовательность групп Ли:

1 → Z 2 → Вращаться ⁡ ( н ) → ТАК ⁡ ( н ) → 1.

Это определение спиновой группы слишком абстрактно, но я считаю, что между ним и спином из квантовой механики есть связь. На это указывает, во-первых, название группы, а во-вторых, потому что и вращение, и группа вращений каким-то образом связаны с вращениями.

Как один угловой момент, спин является генератором вращений, а Вращаться ⁡ ( н ) определяется в терминах группы вращений.

Итак, есть ли связь между спином из квантовой механики и спиновой группой? Как можно интуитивно понять это отношение и как это отношение связано с этим чересчур абстрактным определением Вращаться ⁡ ( н ) ?

Ответы (2)

В квантовой механике соответствующие представления групп симметрии в пространстве состояний — это не наши обычные линейные представления, а проективные представления в гильбертовом пространстве. Проективные представления полупростой группы Ли, например группы вращений. С О ( н ) - находятся в биекции линейных представлений своего универсального покрытия. Подробное обсуждение и вывод этих фактов см. в моих вопросах и ответах . «Интуиция» появления проективного представления состоит в том, что состояния на самом деле являются не векторами, а лучами в гильбертовом пространстве, и, следовательно, «фазы не имеют значения».

Теперь ротационная группа в н > 2 размеры имеют фундаментальную группу Z / 2 Z , что означает, что его универсальное покрытие — это просто двойное покрытие. Следовательно, в н > 2 размерности, спиновая группа по определению является ее двойным покрытием и, следовательно, группой, которую нам нужно линейно представить в гильбертовом пространстве, чтобы иметь проективное представление группы вращений. Наш любимый полуцелый «спин» с теперь не что иное, как число, однозначно обозначающее неприводимое линейное представление С п я н ( 3 ) к л Икс 2 + л у 2 + л г 2 "=" с ( с + 1 ) .

Привет, извини за наивность, но Spin(3) то просто С U ( 2 ) ?
@ user2723984 Да.

Спиновая группа связана с объектами с половинным спином, называемыми спинорами. Если вы повернете спинор на 360 градусов, вы получите отрицательный спинор, с которого вы начали. Теперь было бы хорошо, если бы вы могли представить действие этого поворота, сказав, что элемент С О ( н ) действует на спинор. Однако это невозможно сделать, потому что поворот на 360 градусов — это то же самое, что и элемент идентичности С О ( н ) , и поэтому действие этого вращения должно быть направлено на то, чтобы оставить спинор инвариантным, вопреки тому, что, как мы знаем, происходит. Таким образом, нет никакого способа точно представить действие С О ( н ) вращения на спиноре.

Однако, если у вас есть большая группа, где вращение на 360 градусов не возвращает вас к элементу идентичности, тогда вы можете установить взаимно однозначное соответствие между элементами этой большей группы и линейным преобразованием, которое оно вызывает. на спиноры.

Спин-группа — это большая группа. Поскольку спиновая группа является двойным покрытием С О ( н ) , вращение на 360 градусов занимает только половину пути вокруг группы вращения, поэтому элемент группы, соответствующий вращению на 360 градусов, не обязан действовать как тождество со спинором, а вместо этого может умножать спинор на − 1 , как это должно.

Подводя итог, можно сделать группу из всех конечных вращений, которые можно применить к спинору. Эта группа не С О ( н ) , так как тождественное вращение и вращение на 360 градусов по-разному действуют на спинор, но одинаковы в С О ( н ) . Таким образом, группа конечных вращений, которые можно применить к спинору, должна быть больше, чем С О ( н ) . На самом деле эта группа оказывается спиновой группой, которая является двойным покрытием С О ( н )

Итак, кульминация в том, что если вы хотите изучить вращение в н пространственные измерения, изучить представления Вращаться ( н ) ?
Мне кажется, что вы просто перенесли вопрос на то, какого черта мы должны рассматривать спиноры.
@knzhou Да, я думаю, это правильно.
@ACuriousMind Я интерпретировал его вопрос как отношение между спиновой группой и спинорами, и я предположил, что он уже понял, что спиноры необходимы для описания частиц со спином 1/2. Так что я не стал вдаваться в вопрос, зачем вообще нужны спиноры.
Есть ли связь между спином и спиновой группой?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v