Представление тензорного произведения SO(3)SO(3)SO(3) в гильбертовом пространстве частицы со спином SSS

Question

Представление тензорного произведения SO(3)SO(3)SO(3) в гильбертовом пространстве частицы со спином SSS

нугако

Для частицы со спином $S$ , оператор вращения задается выражением

е^{я {Дж}_{я} θ / ℏ}

$e^{iJ_i\theta/\hbar}$ где

J_{i}

$J_i$ - составляющая полного углового момента вдоль направления оси вращения. Сам полный угловой момент определяется выражением

Дж "=" л \otimes я_{С} + я_{л} \otimes С

$\mathbf J = \mathbf L \otimes I_S + I_L\otimes \mathbf S$ здесь

I_{S}

$I_S$ и

I_{L}

$I_L$ тождественные операторы в

S

$S$ и

L

$L$ пространств соответственно. Приведенная выше форма полного углового момента возникает из-за того, что сочетание пространственной со спиновой степенью свободы реализуется тензорным произведением между соответствующими пространствами и из алгебры Ли группы вращений.

S O (3)

$SO(3)$ .

Мой первый вопрос: могу ли я написать следующее

е^{я {Дж}_{я} θ / ℏ} "=" е^{я л_{я} θ / ℏ} \otimes е^{я С_{я} θ / ℏ} ?

$e^{iJ_i\theta/\hbar} = e^{iL_i\theta/\hbar} \otimes e^{iS_i\theta/\hbar} \hspace{5mm}?$ RHS - это не то, что я придумал лично, я нашел его в своем учебнике, но автор не касается его связи с более распространенным оператором вращения, которым является LHS.

Второй вопрос касается представления группы вращений $SO(3)$ в этом пространстве тензорного произведения, что в конечном итоге приводит к правой части приведенного выше уравнения для оператора вращения. Из того, что я прочитал, пространство представления тензорного произведения — это тензорное произведение двух разных пространств представлений одной и той же группы, здесь $SO(3)$ группа. Пространство представления тензорного произведения для частицы со спином $S$ затем дается $\mathcal H = \Pi_L(R(\theta)) \otimes \Pi_S(R(\theta))$ , где $R(\theta) \in SO(3)$ . $\Pi_L(R(\theta))$ является пространством представления $SO(3)$ в $L^2(\mathbb R^3)$ , которое легко описать - в этом пространстве $\mathbf L = \mathbf r \times \mathbf p$ . Мой второй вопрос касается представления $SO(3)$ в спиновом пространстве, которое $\mathbb C^{2S+1}$ . Как это выглядит и как это описать? Я в растерянности, потому что стандартное представление $SO(3)$ является $3\times 3$ ортогональная матрица, а любые операторы в $\mathbb C^{2S+1}$ должно быть $(2S+1)\times(2S+1)$ .

qgp07

На ваш первый вопрос

[L_{i}, S_{i}] = 0

$[L_i, S_i] = 0$ (следует непосредственно из вашего второго уравнения), поэтому такое разбиение экспоненты совершенно нормально, просто относитесь к ним, как к обычным числам.

Ответы (1)

Представление тензорного произведения SO(3)SO(3)SO(3) в гильбертовом пространстве частицы со спином SSS

На ваш первый вопрос $[L_i, S_i] = 0$ (следует непосредственно из вашего второго уравнения), поэтому такое разбиение экспоненты совершенно нормально, просто относитесь к ним, как к обычным числам.

Шон Похоренс · Answer 1

Дело в том, что «спиновое представление $SO(3)$ "не является представлением $SO(3)$ вообще, а изображение его двойного покрытия $SU(2)$ (см. https://en.wikipedia.org/wiki/Spin_group ). Поскольку мы иногда записываем представления в терминах инфинитезимальных образующих (другими словами, как представление алгебры Ли рассматриваемой группы Ли) и поскольку $SO(3)$ и $SU(2)$ одинаковы на бесконечно малом уровне (их алгебры Ли одинаковы), различие между группами не вызывает путаницы при записи спинового представления в терминах бесконечно малых образующих группы вращений, которое вы записали как $J_i$ . Однако, если вы попытаетесь возвести в степень бесконечно малые генераторы $S_i$ любого спинового представления к представлению $SO(3)$ вы столкнетесь с проблемами! В частности, вращение на 360 градусов, которое должно быть равносильно полному отсутствию вращения, будет действовать $-1$ на представлении, что не имеет смысла.

В общем, нет оснований ожидать $SO(3)$ иметь какие-либо интересные представления на четномерных векторных пространствах спиновых представлений. На самом деле вы можете показать, что любое такое представление будет разлагаться как прямая сумма представлений в нечетномерных векторных пространствах. Например, когда $s = 1/2$ , единственное представительство $SO(3)$ в двумерном векторном пространстве $\mathbb{C}^2$ тривиальное представление, в котором каждый элемент $SO(3)$ действует тождественной матрицей 2 на 2. Однако, $SU(2)$ имеет естественное представление на $\mathbb{C}^2$ , что является спиновым представлением.

Дело в том, что в моей книге (и, наверное, в любых других книгах) автор обсуждает тензорное произведение между двумя разными представлениями одной и той же группы. Теперь, если я рассмотрю частицу в евклидовом пространстве, имеющую спин, оператор вращения (SO (3)) в соответствующем гильбертовом пространстве будет иметь вид $e^{iJ_i\theta} = e^{iL_i\theta} \otimes e^{iS_i\theta}$ . Опять же, согласно моей книге, два оператора в RHS на самом деле являются двумя разными представлениями SO(3), один в $L^2(\mathbb R^3)$ и еще один в спиновом пространстве.
Кстати, как вы могли придумать представление SO (3) на $\mathbb C^2$ является тривиальным представлением? Это определение или что-то, что можно доказать?
Единственное, о чем я могу думать, это то, что обозначение $e^{iS_i\theta}$ означает возведенное в степень представление, которое в данном случае будет представлением $SU(2)$ . Обычное представление $e^{iL_i\theta}$ также определяет представление $SU(2)$ так как есть карта с двойным покрытием $SU(2)\to SO(3)$ . Представления $SO(3)$ можно разложить в прямую совокупность неприводимых представлений, все из которых нечетномерны. Фактически, $l$ -мерное представление происходит от действия $SO(3)$ на сферических гармониках с собственным значением $-l(l+1)$ .
Извините, неприводимые представления, о которых я упоминал выше, $2l+1$ -размерный.

Представление тензорного произведения SO(3)SO(3)SO(3) в гильбертовом пространстве частицы со спином SSS

нугако

qgp07

Ответы (1)

Шон Похоренс

нугако

нугако

Шон Похоренс

Шон Похоренс

Есть ли связь между спином и спиновой группой?

Квантово-механический угловой момент и формализм/обозначения спина

Как интерпретировать наблюдаемые за спином, построенные нестандартным фазовым выбором?

Почему мы смотрим на представления SO(3)SO(3)SO(3) в КМ?

Что понимается под спином частицы? [дубликат]

Как может S2S2\textbf{S}^2 не быть кратным тождеству?

Трехмерный изотропный осциллятор и алгебра углового момента

Почему нет 1/3 спина? [дубликат]

Физический (классический) смысл спинорного представления электрона

Почему коэффициенты Клебша-Гордана всегда можно выбрать действительными?