Почему SU(2)SU(2)SU(2)-генераторы интерпретируются как *пространственные* компоненты спина?

Ан$SU(2)$симметрия априори не имеет абсолютно ничего общего с пространственным вращением. Например, симметрия между протонами и нейтронами описывается изоспином.$SU(2)$симметрия, которая рассматривает протон и нейтрон так же, как состояния спина со спином вверх и вниз$1/2$частица. Точно так же существует слабый изоспин, также описываемый$SU(2)$, которая связывает электрон с электронным нейтрино. Ни один из них не связан с вращением, за исключением той же математики; вы не можете совершить физическое вращение, чтобы превратить протон в нейтрон. (Однако аналогия со вращением настолько полезна для осмысления того, что происходит, что все они имеют слово «вращение» в своих названиях.)

Если в учебнике написано: «Мы определили$SU(2)$симметрии, поэтому она должна физически соответствовать вращательной симметрии», то эта книга небрежна. Аргумент следует сформулировать в обратном порядке. Ниже я очень подробно покажу, как это делается.

Мы начинаем с экспериментальных данных, которые мы хотим понять. Например, предположим, что мы хотим смоделировать прецессию магнитного дипольного момента ядра в изменяющемся во времени магнитном поле. (Оказывается, этот дипольный момент пропорционален спину, так что это именно то, о чем вы спрашиваете.) Чтобы создать квантово-механическую модель, мы должны определить гильбертово пространство и гамильтониан, а также операторы$\mu_i$соответствующих компонентам магнитного дипольного момента.

Конечно, для этого нет однозначного математического рецепта. Например, вы можете выбрать гильбертово пространство нульмерным, но тогда оно явно не будет соответствовать данным. Оказывается, для некоторых ядер модель работает, если мы выбираем гильбертово пространство двумерным, с состояниями$|\uparrow\rangle$и$|\downarrow\rangle$соответствующий дипольному моменту, направленному вертикально вверх и вниз. Другими словами, это определяет$\mu_z$как

Далее мы определяем операторы вращения, которые физически вращают систему. Мы знаем, что классически вращения пространства образуют группу$SO(3)$. Из-за проблем с квантовыми фазами это означает, что операторы вращения обязательно должны быть представлением группы$SU(2)$. Это немного странно, но через некоторое время к этому привыкаешь — обычно существует математическая процедура «покрути рукоятку» для выяснения, какую группу использовать в квантовом случае.

Однако мы до сих пор не знаем, какое представление$SU(2)$это. Например, все операторы вращения могут ничего не делать — это правильный выбор для изоспиновой симметрии (без учета спинов протона и нейтрона), потому что вы не можете превратить протон в нейтрон. Но это не правильный выбор для магнитных моментов, потому что мы можем наблюдать, что наклон магнита и повторный запуск эксперимента дают другой результат.

Мы также знаем, что вращение вокруг$z$ось должна исправить$|\uparrow \rangle$и$|\downarrow \rangle$, опять же по наблюдению, в то время как$180^\circ$вращения вокруг$x$и$y$оси должны поменять местами эти состояния. (Здесь все только до фаз.) Мы не можем пойти дальше и получить явные выражения, потому что они будут меняться в зависимости от фаз состояний. Но в стандартных фазовых соглашениях можно продолжить эту логику, чтобы показать, что$\mu_i$все операторы должны быть пропорциональны$\sigma_i$, а операторы вращения являются экспонентами$\sigma_i$. Подробно это описано здесь .

Это довольно длинный и очень явный аргумент, чтобы сделать одно простое замечание: в физике мы не слепо занимаемся математикой и в конце помещаем физическую интерпретацию. Мы начинаем с физической системы, которую хотим описать, и соответствующим образом определить математические объекты. Мы знаем, что вращения должны описываться$SU(2)$по общим принципам, поэтому мы определяем гильбертово пространство с представлением$SU(2)$. Который из? Что бы ни работало.

Логика следующая:

1. $SU(2)\cong SPIN(3)$.

2. В более общем смысле,$G:=SPIN(n)$это двойное покрытие группы вращения$SO(n)$.

3. $G$действует через присоединенное представление на своей алгебре Ли$\mathfrak{g}:=\mathfrak{so}(n)$.

4. Каждый элемент алгебры Ли$\mathfrak{g}:=\mathfrak{so}(n)$порождает бесконечно малое вращение, т. е. представляет собой угловой момент.

5. Алгебра Ли$\mathfrak{g}:=\mathfrak{so}(n)\cong \bigwedge^2 V$можно отождествить с набором 2-плоскостей (т.е. плоскостей вращения) в$n$-космос$V\cong \mathbb{\mathbb{R}^n}$. См. также соответствующий пост Phys.SE.

6. Для$n=3$, у нас есть$\bigwedge^2 V\cong V$, т.е. элементы$\mathfrak{su}(2)\cong\mathfrak{so}(3)$может быть идентифицирован с 3 пробелами$V$сам.