Как измерить кручение и неметричность?

Кручение влияет на перенос векторов по пути. Говоря более физически, это влияет на распространение спинорных полей (ЭМ-поля не затрагиваются, поскольку внешние производные не зависят от связи). Поскольку тензор кручения прямо равен тензору спина, это означает, что мы можем игнорировать почти все геометрические интерпретации и рассматривать их как простое взаимодействие.

Это проявляется в уравнении Хеля-Датты :

$$\begin{equation} i\gamma^\mu \nabla_\mu \psi + \frac{3\kappa}{8}(\overline{\psi}\gamma_\mu\gamma^5\psi)\gamma^\mu\gamma^5\psi - m\psi = 0, \end{equation}$$

С$\kappa$обычная связь с гравитацией. Это соответствует взаимодействию аксиального тока с аксиальным током.

Если вы наложите кручение вручную на что-то простое (самый простой тензор кручения$T_{abc} = \varepsilon_{abc}$), это заставит вектор вращения вращаться вокруг некоторой оси. В общем случае движение вектора спина распространяется параллельно по геодезической касательного вектора$u$является

$$\begin{equation} S^\mu_{;\nu} u^{\nu} = 3 K^{[\alpha \beta \mu]} S_{\beta} u_{\alpha} + \mathcal{O}(\hbar) \end{equation}$$

С$K$тензор искривления.

Возможно, вы знаете, что обычно поток спинорного поля, подчиняющийся уравнению Дирака, можно разложить на две части, так называемое разложение Гордона:

$$\begin{equation} j_\mu = \frac{i}{2m} [\bar \psi (\partial_\mu \psi) - (\partial_\mu \bar \psi) \psi] + \frac{1}{2m} \partial_\nu (\bar \psi \sigma^{\mu\nu}\psi) \end{equation}$$

Орбитальный ток$j^c$и спиновой ток$j^M$(спиновый ток примерно соответствует намагниченности и поляризации в классическом ЭМ). Если к нему добавить связь с кручением, то все равно получится два независимо сохраняющихся тока, но уже вида

$$\begin{equation} j_\mu^c = \frac{i}{2m} [\bar \psi (\nabla_\mu \psi) - (\nabla_\mu \bar \psi) \psi] - \frac{1}{2m} \bar{\psi} \sigma^{\alpha\beta} \psi K_{\alpha\beta\mu} \end{equation}$$

$$\begin{equation} j^M_\mu = \frac{1}{2m} (\bar \psi \sigma^{\mu\nu}\psi)_{;\nu} \end{equation}$$

(Я думаю, что дираковская билинейка спинового тока здесь является 2-формой, следовательно, она также не зависит от связи, поэтому на нее не влияет кручение)

Таким образом, фермионы в пространстве-времени, включающем кручение, будут генерировать другое электромагнитное поле, и пробные частицы, отправленные в таких условиях, будут отклоняться от траектории, которую мы бы ожидали без кручения.

Что касается тензора неметричности:

$$\begin{equation} \nabla_\alpha g_{\mu\nu} = N_{\alpha\mu\nu} \end{equation}$$

среди прочего это повлияет на сохранение скалярных величин вдоль геодезических. Например, в случае массы

$$\begin{eqnarray} \frac{dp^2}{d\lambda}&=& \frac{d(g_{\mu\nu} p^\mu p^\nu)}{d\lambda} \\ &=& m^2 u^\alpha \nabla_\alpha (g_{\mu\nu} u^\mu u^\nu)\\ &=& m^2 u^\alpha (N_{\alpha\mu\nu} u^\mu u^\nu + g_{\mu\nu} u^\nu \nabla_\alpha u^\mu + g_{\mu\nu} u^\mu \nabla_\alpha u^\nu) \end{eqnarray}$$

А как известно, для геодезических,$u^\alpha \nabla_\alpha u^\mu = 0$, уход

$$\begin{eqnarray} \frac{dp^2}{d\lambda}&=& m^2 N_{\alpha\mu\nu} u^\alpha u^\mu u^\nu \end{eqnarray}$$

Это означает, что свободная частица будет менять массу по своей траектории.