Как Кеплер «угадал» свой третий закон по данным?

Question

Как Кеплер «угадал» свой третий закон по данным?

Джошуа Бенабу

Удивительно, что Кеплер определил свои три закона, глядя на данные, без калькулятора и используя только ручку и бумагу. Можно себе представить, как он доказал, что его законы описывают данные после того, как он уже предположил их, но чего я не понимаю, так это того, как он угадал их в первую очередь.

Я сосредоточусь, в частности, на третьем законе Кеплера, который гласит, что квадрат периода обращения планеты пропорционален кубу большой полуоси орбиты.

Я предполагаю, что Кеплер работал только с данными о планетах, а также с нашей собственной Луной и Солнцем. Я делаю это предположение, потому что не думаю, что у Кеплера были данные о других спутниках, кометах или астероидах, которые еще не наблюдались в телескоп. Если это правда, зная, что Нептун, Уран и Плутон еще не были открыты, когда Кеплер был жив, это означает, что у Кеплера было менее 9 точек данных для работы.

Мой друг утверждает, что вполне вероятно, как Кеплер угадал эту взаимосвязь (хотя он не дает никакого метода того, как Кеплер мог это сделать), а также что наблюдения Кеплера «не так уж сложны». В качестве испытания я дал своему другу таблицу данных с одним столбцом, помеченным $x$ , другой $y$ , и 9 координат $(x,y)$ которые соответствуют отношениям $x^4=y^3$ . Я сказал: «Пожалуйста, найдите связь между $x$ и $y$ ", и, как и следовало ожидать, ему это не удалось.

Пожалуйста, объясните мне, каким образом Кеплер догадался об этой взаимосвязи, работая с таким небольшим числом точек данных. И если мое предположение о том, что число точек данных, которыми располагал Кеплер, невелико, неверно, то я все же думаю, что довольно сложно угадать эту зависимость без калькулятора.

Мауро АЛЛЕГРАНСА

В то время ученые могли производить множество астрономических расчетов вручную (см. prosthaphaeresis и логарифмические таблицы ), а Кеплер был очень умным астрономом-теоретиком.

Мауро АЛЛЕГРАНСА

Об открытиях Кеплера можно почитать хотя бы у Александра Койре, « Астрономическая революция: Коперник — Кеплер — Борелли» (оригинальное изд. 1961 г.).

HDE 226868

Кросс-пост по астрономии .

оромэ

В приведенных ниже ответах есть некоторая путаница, поскольку они, кажется, предполагают, что логарифмы являются неотъемлемой частью понимания Кеплера. Это не вариант. Закон гласит, что

P^{2} \propto a^{3}

$P^2 \propto a^3$ , о чем он мог бы догадаться, взглянув на величины чисел, и легко подтвердить, заметив, что график

P^{2}

$P^2$ против

a^{3}

$a^3$ представляет собой приблизительно прямую линию. Кеплер был очень опытным математиком и был одержим закономерностями, так что нетрудно представить, что он потратил много времени на пробы, пока не наткнулся на это.

Джон Шанахан

Учитывая, что древние греки говорили о музыке сфер, может быть, не такой уж большой скачок в том, что Кеплер использовал музыкальный интервал как силу! а именно 1,5 натуральной квинты.

Джеральд Эдгар

Другая биография Кеплера написана Артуром Кестлером ... Водораздел: биография Иоганна Кеплера . (отрывок из Лунатики .) ISBN 978-0-385-09576-1

Ответы (3)

Как Кеплер «угадал» свой третий закон по данным?

В то время ученые могли производить множество астрономических расчетов вручную (см. prosthaphaeresis и логарифмические таблицы ), а Кеплер был очень умным астрономом-теоретиком.
Об открытиях Кеплера можно почитать хотя бы у Александра Койре, « Астрономическая революция: Коперник — Кеплер — Борелли» (оригинальное изд. 1961 г.).
В приведенных ниже ответах есть некоторая путаница, поскольку они, кажется, предполагают, что логарифмы являются неотъемлемой частью понимания Кеплера. Это не вариант. Закон гласит, что $P^2 \propto a^3$ , о чем он мог бы догадаться, взглянув на величины чисел, и легко подтвердить, заметив, что график $P^2$ против $a^3$ представляет собой приблизительно прямую линию. Кеплер был очень опытным математиком и был одержим закономерностями, так что нетрудно представить, что он потратил много времени на пробы, пока не наткнулся на это.
Учитывая, что древние греки говорили о музыке сфер, может быть, не такой уж большой скачок в том, что Кеплер использовал музыкальный интервал как силу! а именно 1,5 натуральной квинты.
Другая биография Кеплера написана Артуром Кестлером ... Водораздел: биография Иоганна Кеплера . (отрывок из Лунатики .) ISBN 978-0-385-09576-1

Александр Еременко · Answer 1

Вы можете прочитать Harmonia Mundi Кеплера (есть сокращенный английский перевод, но он включает эту часть). Кеплер много лет (большую часть своей жизни) искал всевозможные числовые отношения. Большинство отношений, которые он нашел в Harmonia Mundi, случайны и не представляют никакой ценности для современной науки.

Я согласен с вашим другом, что при наличии 6 пар чисел (было известно 5 планет + Земля) после некоторых проб можно открыть 3-й закон. (В истории науки были и более поразительные открытия такого рода, например ряд Бальмера, который впечатляет даже больше, чем Третий закон).

Величайшим достижением Кеплера был Первый закон. Это был действительно один из величайших прорывов за всю историю науки. И он сам очень подробно описал все шаги, которые он сделал, чтобы обнаружить это. Включая все ошибки, которые он сделал. Это описание есть в его Astronomia Nova. А еще есть английский перевод, полный! Таким образом, вы можете следить за каждым шагом, который он сделал. Если есть время и терпение.

Логарифмы были изобретены только тогда, когда Кеплер писал Astronomia Nova. Третий Закон был открыт 10 лет спустя. Если вы построите логарифмы периодов против логарифмов расстояний, вы получите прямую линию. Поэтому было бы удивительно, если бы кто-то, знающий данные и логарифмы и пытающийся обнаружить какую-то связь, пропустил это :-)

Конифолд · Answer 2

Я согласен с тем, что это удивительно, и это заслуга понимания Кеплером числовых закономерностей, которое напоминает Эйлера. Кеплеру потребовалось еще 12 лет, чтобы открыть третий закон после открытия первых двух, возможно, именно из-за сравнительной нехватки точек данных.

Согласно Кеплеру , после многолетних поисков дополнительных закономерностей 8 марта 1618 года в его голове вдруг «появилась» «чудесная» идея, что «пропорция между периодическими временами любых двух планет ровно в полтора раза больше пропорции средних расстояний». Другими словами, он придумал то, что мы назвали бы линейным логарифмическим соответствием между средними расстояниями и периодами. Однако он не подходил... сначала из-за вычислительной ошибки. Но 15 марта к нему снова «пришла» идея, и он правильно провел расчеты.

Вероятным предположением является то, что Кеплер получил свое чудесное вдохновение, прочитав в конце 1616 года работу Непера 1614 года о логарифмах. из $1\frac12$ между ними было бы заметно. Однако его отчет предполагает, что он сначала задумал паттерн в этой форме и только затем выполнил вычисления. Позже он написал свою собственную книгу о логарифмах (опубликованную в 1621 году) и использовал их в вычислениях для таблиц Рудольфина .

Тем не менее, следует предостеречь от самоотчетности Кеплера. Он рассказал захватывающую дух историю открытия первых двух законов в Astronomia Nova. Но... «недавнее исследование, особенно исследование Уильяма Х. Донахью, показало, что отчет, который Кеплер предлагает своим читателям, не является правдивой историей хода его исследований — на что Кеплер никогда не претендовал, — а скорее дидактическим или риторическая псевдоистория», см. Voelkel, The Composition of Kepler’s Astronomia Nova .

Любой, кто занимается математикой, знает, как хорошие идеи могут просто появиться в вашей голове без видимой цепочки мыслей, ведущей к ним. Это очень загадочно. Иногда я думаю, что стоит помнить об этом, когда мы задаемся вопросом: «Как кто-то мог это придумать?». Если решение к упражнению 4.1.5 пришло вам в голову во вспышке озарения, только представьте себе, каким должно было быть ядерное событие, когда то же самое произошло с Кеплером или Гауссом...
На самом деле Кеплер выучил логарифмы у их соавтора Йобста Бюрги , который работал в его лаборатории. О'Коннор -Робертсон сказал : «Существуют убедительные доказательства того, что Кеплер получил идею своего третьего закона движения планет, размышляя о логарифмах, и, должно быть, в ходе дискуссий с Бюрги логарифмы были общей темой в Градчанах. (...) Кеплер писал о логарифмах Бюрги во введении к своим таблицам Рудольфина (1627 г.). (...)”
Ваша ссылка на "книгу Воелкеля" не работает. Пожалуйста, исправьте это и добавьте ссылку на работу Донахью, если это возможно.

Луи Строус · Answer 3

Третий закон Кеплера можно было вывести на основе параметров орбиты, упомянутых в Альмагесте Птолемея (II век н.э.). Для этого не имело значения ни то, что Кеплер располагал более современными наблюдениями более высокой точности, ни то, что он обнаружил, что орбиты представляют собой эллипсы, а не круги. На следующей диаграмме размеры орбит (a) и периоды (P), полученные из Альмагеста, показаны в виде маленьких квадратов, а 3-й закон Кеплера показан в виде прямой линии. Соответствие достаточно хорошее, чтобы вывести 3-й закон Кеплера из точек данных.

Важнейшее открытие, впервые полученное Коперником (см. его Commentariolus , написанное незадолго до 1514 г.), заключалось в том, что гелиоцентрическая модель Солнечной системы позволяла определять размеры орбит (по отношению к орбите Земли) из имеющихся данных. наблюдения. Без этого понимания Кеплер не знал бы размеров орбит планет и не имел бы данных, из которых можно вывести свой 3-й закон.

Для низшей планеты, расположенной ближе к Солнцу, чем Земля, размер их орбиты по отношению к орбите Земли определяет их наибольшее угловое расстояние от Солнца (их максимальное удлинение), если смотреть с Земли. С точки зрения геоцентрической модели, используемой в Альмагесте , размер орбиты соответствует размеру эпицикла планеты.

Для высшей планеты, находящейся дальше от Солнца, чем Земля, размер орбиты Земли по отношению к орбите планеты определяет размер петли оппозиции планеты, где планета демонстрирует явное ретроградное движение вблизи своего противостояния Солнцу. С точки зрения геоцентрической модели размер эпицикла планеты соответствует на единицу больше размера орбиты, потому что эпицикл планеты эквивалентен орбите Земли.

Птолемей дает размеры эпициклов как

Меркурий: 22;30 = 22,5 из 60 ( Альмагест , IX 9, Toomer Edition)
Венера: 43 + 1/6 из 60 (X 2)
Марс: 39;30 = 39,5 из 60 (Х 8)
Юпитер: 11; 30 = 11,5 из 60 (XI 2)
Сатурн: 6;30 = 6,5 из 60 (XI 6)

Выведенные орбитальные размеры относительно Земли:

Меркурий: 22,5/60 = 0,375
Венера: 43,17/60 = 0,7194
Земля: 1
Марс: 60/39,5 = 1,5190
Юпитер: 60/11,5 = 5,2174
Сатурн: 60/6,5 = 9,2308

Орбитальный период планет следует из их среднего суточного движения по долготе (для высших планет) или аномалии (для низших планет). Птолемей приводит следующие среднесуточные движения по аномалии (градусы в сутки), т. е. движения по эпициклу:

Меркурий: 3;6,24,6,59,35,50 = 3,106699 (IX 3)
Венера: 0;36,59,25,53,11,28 = 0,6165087 (IX 3)

и следующие среднесуточные движения по долготе (градусы в сутки), т. е. движения по семявыносящим путям:

Вс: 0;59,8,17,13,12,31 = 0,9856353 (III 1)
Марс: 0;31,26,36,53,51,33 = 0,5240597 (IX 3)
Юпитер: 0;4,59,14,26,46,31 = 0,08312244 (IX 3)
Сатурн: 0;2,0,33,31,28,51 = 0,03348854 (IX 3)

Для низших планет мы должны добавить движение Солнца по долготе к движению планеты по аномалии, чтобы получить их движение относительно небесной сферы. Выведенные орбитальные периоды в днях и годах равны

Меркурий: 360/(3,106699 + 0,9856353) = 87,96935 → 0,2408492
Венера: 360/(0,6165087 + 0,9856353) = 224,6989 → 0,6151977
Земля: 360/0,9856353 = 365,2467 → 1
Марс: 360/0,5240597 = 686,9446 → 1,880769
Юпитер: 3606/0,08312244 = 4330,961 → 11,85763
Сатурн: 360/0,03348854 = 10749,95 → 29,43202

Эти орбитальные размеры и периоды отображаются на диаграмме.

Может случиться так, что средние дневные движения все еще нуждаются в поправке на прецессию (как сказал Птолемей, она работает со скоростью 1 градус за 100 лет), но это очень мало меняет карту.

Как Кеплер «угадал» свой третий закон по данным?

Джошуа Бенабу

Мауро АЛЛЕГРАНСА

Мауро АЛЛЕГРАНСА

HDE 226868

оромэ

Джон Шанахан

Джеральд Эдгар

Ответы (3)

Александр Еременко

Конифолд

Джек М

Франсуа Циглер

Александр Еременко

Луи Строус

На основании каких данных Кеплер вывел свои законы?

Каково было мнение Галилея о работах Кеплера?

Как Кеплер выводил трехмерные координаты из данных Тихо Браге?

Был ли «третий закон Кеплера» выведен из галилеевых лун или из движения планет?

Какова была реакция на «Сомниум» Кеплера, когда он был опубликован?

Как Кеплер сделал свое открытие?

Верил ли Ибн аль-Хайтам, что Луна отражает солнечный свет или что она самосветящаяся?

Когда и как впервые была обнаружена вода за пределами Земли?

Был ли удачный расчет Ньютона прецессии равноденствий случайностью?

Самое раннее числовое значение для линии гелия D3