Как Кеплер выводил трехмерные координаты из данных Тихо Браге?

Во времена Кеплера расстояния не измерялись и не наблюдались напрямую. Или, если измеряли, результаты были совершенно неправильными. Все его законы сформулированы в терминах ОТНОШЕНИЙ расстояний, и эти отношения в принципе могут быть измерены из геометрии ситуации. Когда вы описываете все так, как видно с Земли (как это делали древние), расстояния совершенно не имеют значения. Но при использовании гелиоцентрической системы все отношения расстояний к расстоянию от Земли до Солнца можно получить из угловых наблюдений.

Конечно, это только общий принцип. Детали НАМНОГО сложнее.

РЕДАКТИРОВАТЬ. Но идея такова: предположим для простоты, что все происходит в одной плоскости и что планеты движутся по окружностям. (На самом деле это хорошее приближение, потому что наклоны орбит малы, а эксцентриситеты также малы. Если смотреть с Земли, Солнце вращается по окружности радиусом$r$равномерно, с центром на Земле. Планета вращается вокруг Солнца по окружности радиуса$R$, также равномерно. Предположим, что в три разных момента времени вы наблюдаете направление на планете, по сути это означает, что вы измеряете два угла на своей картинке. А два других угла вы знаете, потому что знаете время наблюдений и скорость вращения Солнца. Из этих углов с помощью чистой геометрии можно найти соотношение$r/R$. Просто сделайте картинку и считайте, что это упражнение по геометрии средней школы (умеренной сложности). Между прочим, это было известно уже Птолемею.

Эти отношения были известны Кеплеру, и, играя с ними, он открыл свой трехмерный
закон. Но его величайшим достижением является ПЕРВЫЙ закон: он смог вывести из наблюдений (того же рода, что я описал), что планеты действительно движутся не по кругам, а по эллипсам. Как именно он это сделал, я не могу объяснить в отведенном здесь месте :-) Но его собственное объяснение доступно на английском языке между прочим.

На самом деле это не полный ответ, но он слишком длинный, чтобы быть комментарием. Александр Еременко написал хороший ответ, который призван дополнить.

Следует понять, что то, что сделал Кеплер, было упражнением в подгонке кривых. Для описания кеплеровской орбиты необходимо 6 параметров. (Вы можете сказать, что их 6, если посчитаете степени свободы. Для определения такой орбиты достаточно начального вектора положения и начального вектора импульса.) Когда вы наблюдаете положение объекта на небе, в принципе вам нужно 6 чисел, чтобы определить элементы его орбиты. Например, вы можете сделать это, найдя его склонение и прямое восхождение в три разные ночи.

Все это работает, только если вы принимаете кеплерову орбиту. Например, предположим, что солнце нарушило законы физики, как они понимаются в настоящее время, беспорядочно двигаясь вдоль линии, соединяющей солнце с землей. Это никак не повлияло бы на прямое восхождение и склонение Солнца, поэтому мы никогда не смогли бы обнаружить это движение по измерениям этих координат.

Еще одна вещь, которая может помочь с интуицией, заключается в том, чтобы понять, что это прямой аналог метода параллакса для измерения расстояний до звезд. Единственное отличие состоит в том, что мы считаем звезду удаленной и покоящейся, что является вырожденным случаем кеплеровского движения.

Какие методы использовал Кеплер, чтобы добавить к этим наблюдениям измерение глубины, чтобы создать трехмерные данные, которые можно начать изучать, чтобы прийти к своим трем законам?

Так что я думаю, что эта часть вопроса делает неверное предположение, что Кеплер сначала обнаружил трехмерное движение, а затем вывел из него законы Кеплера. Трехмерное движение уже было известно и моделировалось с помощью эпициклов, при этом Земля произвольно считалась покоящейся. Кеплер уточнял эту ранее разработанную трехмерную модель, а также (тривиально, с математической точки зрения) менял начало координат.