Как вы можете доказать, что сумма квадратов ожидаемых значений трех компонентов спина равна 1?

Question

Как вы можете доказать, что сумма квадратов ожидаемых значений трех компонентов спина равна 1?

ИнтегралПрайм

Я работаю над книгой Леонарда Сасскинда « Теоретический минимум: квантовая механика». В этой книге вводится утверждение, называемое «принципом спиновой поляризации», которое, по сути, гласит, что:

Для любого государства $|A \rangle$ , существует направляющий вектор $\hat{n}$ такой, что $\vec{\sigma} \cdot \hat{n} \, |A \rangle = |A\rangle$ .

(Здесь $\sigma$ используется для спиновых операторов - я видел $S_n, S_x, S_y, S_z$ используется в другом месте).

Я понимаю, что это означает, что для любого состояния всегда существует направление, в котором может быть ориентирован аппарат для измерения спина, так что он будет измерять спин как $+1$ с $100\%$ уверенность. Поэтому мы можем написать, что ожидаемое значение этой наблюдаемой равно $1$ :

⟨ \vec{о} \cdot \hat{н} ⟩ "=" 1.

$\langle \vec{\sigma} \cdot \hat{n} \rangle = 1.$

У нас есть это $\vec{\sigma} \cdot \hat{n} = n_x \sigma_x + n_y \sigma_y + n_z \sigma_z$ где $n_x, n_y, n_z$ являются компонентами $\hat{n}$ .

Затем в книге говорится, что «математическое ожидание перпендикулярных компонентов $\sigma$ равны нулю в состоянии $|A\rangle$ ", а затем заявляет, что из этого "вытекает", что

⟨ о_{Икс} ⟩^{2} + ⟨ о_{у} ⟩^{2} + ⟨ о_{г} ⟩^{2} "=" 1.

$\langle \sigma_x \rangle ^2 + \langle \sigma_y \rangle ^2 + \langle \sigma_z \rangle ^2 = 1.$

Я не понимаю, что книга подразумевает под этим, или как вы делаете вывод, что сумма квадратов ожидаемых значений компонентов вращения равна 1.

Я думаю, может быть, что "перпендикулярные компоненты" $0$ относится к спиновой составляющей, измеренной в направлении, перпендикулярном $\hat{n}$ в $3$ D пространство (потому что если $+1$ спина готовится вместе $\hat{n}$ то ожидаемое значение измерения спина перпендикулярно $\hat{n}$ (по вектору $\hat{m}$ ) является $\hat{n} \cdot \hat{m} = 0$ .

Мы также можем показать, что

⟨ \vec{о} \cdot \hat{н} ⟩ "=" ⟨ А | \vec{о} \cdot \hat{н} | А ⟩ "=" н_{Икс} ⟨ о_{Икс} ⟩ + н_{у} ⟨ о_{у} ⟩ + н_{г} ⟨ о_{г} ⟩,

$\langle \vec{\sigma} \cdot \hat{n} \rangle = \langle A | \vec{\sigma} \cdot \hat{n} | A \rangle = n_x \langle \sigma_x \rangle + n_y \langle \sigma_y \rangle + n_z \langle \sigma_z \rangle,$

что ближе всего к тому, что мне удалось показать, что сумма квадратов ожидаемых значений компонентов спина равна $1$ .

Что книга подразумевает под этим утверждением, и как мы делаем вывод, что

⟨ о_{Икс} ⟩^{2} + ⟨ о_{у} ⟩^{2} + ⟨ о_{г} ⟩^{2} "=" 1 ?

$\langle \sigma_x \rangle ^2 + \langle \sigma_y \rangle ^2 + \langle \sigma_z \rangle ^2 = 1?$

Андрей

Вы уверены, что это не

⟨ σ_{x}^{2} ⟩ + ⟨ σ_{y}^{2} ⟩ + ⟨ σ_{z}^{2} ⟩ = 1

$\langle \sigma_x^2\rangle + \langle \sigma_y^2\rangle + \langle \sigma_z^2 \rangle = 1$ ?

Майк Стоун

@ Эндрю Нет. Сумма математических ожиданий квадратов составляет 3/4.

Ответы (2)

Как вы можете доказать, что сумма квадратов ожидаемых значений трех компонентов спина равна 1?

Вы уверены, что это не $\langle \sigma_x^2\rangle + \langle \sigma_y^2\rangle + \langle \sigma_z^2 \rangle = 1$ ?
@ Эндрю Нет. Сумма математических ожиданий квадратов составляет 3/4.

ZeroTheHero · Answer 1

Начните с любого нормализованного состояния $\vert\psi\rangle=\alpha\vert{+}\rangle +\beta\vert{-}\rangle$ . Действительно, это самое общее $\vert\psi\rangle$ имеет форму $\cos\beta/2 \vert +\rangle +e^{i\varphi}\sin\beta/2\vert - \rangle$ и углы $\beta$ и $\varphi$ связаны со средними значениями матриц Паули, vg $\langle \sigma_z\rangle=\cos\beta=n_z$ .

Таким образом, вы сразу получаете

\begin{aligned} \sum_{я} ⟨ о_{я} ⟩^{2} "=" \sum_{я} н_{я}^{2} "=" 1 \end{aligned}

$\begin{align} \sum_i \langle \sigma_i\rangle^2 =\sum_i n_i^2=1 \end{align}$

Обратите внимание, что это $\vert\psi\rangle$ также является собственным состоянием $\hat n\cdot\vec\sigma$ .

Джей Джи · Answer 2

Поскольку состояние $A$ поляризован в направлении $\vec n$ , ожидаемое значение наблюдаемого $\sigma_x$ является $n_x$ . Или $\langle \sigma_x \rangle = n_x$ . $n_y$ и $n_z$ не участвуют в ожидаемой стоимости $\sigma_x$ потому что компонент $\sigma_y$ и $\sigma_z$ перпендикулярны $\sigma_x$ .

По симметричным аргументам $\langle \sigma_y \rangle = n_y$ и $\langle \sigma_z \rangle = n_z$ .

Следите за выводом:

⟨ \vec{о} \cdot \vec{н} ⟩ "=" н_{Икс} ⟨ о_{Икс} ⟩ + н_{у} ⟨ о_{у} ⟩ + н_{г} ⟨ о_{г} ⟩ "=" {⟨ о_{Икс} ⟩}^{2} + {⟨ о_{у} ⟩}^{2} + {⟨ о_{г} ⟩}^{2} "=" 1

$\langle \vec\sigma \cdot \vec n \rangle = n_x\langle\sigma_x\rangle + n_y\langle\sigma_y\rangle + n_z\langle\sigma_z\rangle = {\langle \sigma_x \rangle}^2 + {\langle \sigma_y \rangle}^2 + {\langle \sigma_z \rangle}^2 = 1$

Как вы можете доказать, что сумма квадратов ожидаемых значений трех компонентов спина равна 1?

ИнтегралПрайм

Андрей

Майк Стоун

Ответы (2)

ZeroTheHero

Джей Джи

Как r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)r¯×(∇¯×)−∇¯×(r¯×)\bar{r}\times(\bar{\nabla} \times) - \bar{\nabla}\times(\bar{r}\times) относятся к оператору орбитального углового момента?

Ожидаемые значения операторов LxLxL_x и LyLyL_y в собственных состояниях LzLzL_z

Матричное представление углового момента

Какое отношение имеет четность к определению углового момента?

Расчет ожидаемого значения спина [закрыто]

Проблема углового момента в квантовой механике

Коммутация оператора углового момента [закрыто]

Как может S2S2\textbf{S}^2 не быть кратным тождеству?

Докажите, что Li=ϵijkxjpkLi=ϵijkxjpkL_i = \epsilon_{ijk} x_ j p_ k

Вывод оператора углового момента