Как определить, является ли собственное состояние полного спина симметричным или антисимметричным?

Обозначим спины отдельных частиц через$j_1 = j_2 = I$, квантовые числа для$z$-компоненты их углового момента на$m_1$и$m_2$, спин их объединенного состояния на$J$, и$z$-компонента углового момента объединенного состояния на$M$. У нас есть два базиса для состояний этих частиц: базис «индивидуальной частицы», обозначаемый

$$|I \, m_1 \, I \, m_2 \rangle$$ и базис «комбинированных частиц», обозначаемый $$|J \, M \rangle.$$ (Обратите внимание, что $j_1$и $j_2$также все еще являются «хорошими» квантовыми числами для этого последнего состояния; но включение их в обе записи является излишним и может привести к путанице, поэтому я их опускаю.) Наконец, обозначим через $\hat{E}$оператор обмена между частицами 1 и 2, т. е. мы определяем $\hat{E}$такой, что $$\hat{E} |I \, m_1 \, I \, m_2 \rangle = |I \, m_2 \, I \, m_1 \rangle.$$

Мы можем выполнить базисное преобразование, чтобы выразить любое состояние$|J \, M \rangle$с точки зрения основы$|I \, m_1 \, I \, m_2 \rangle$:

$$|J \, M \rangle = \sum_{j_1, m_1, j_2, m_2} |I \, m_1 \, I \, m_2 \rangle \langle I \,m_1 \,I \, m_2 | J \, M \rangle$$ Коэффициенты $\langle I \,m_1 \,I \, m_2 | J \, M \rangle$известны как коэффициенты Клебша-Гордана . Мы хотим знать, что происходит, когда мы применяем оператор обмена $\hat{E}$к этому состоянию: $$\hat{E} |J \, M \rangle = \sum_{j_1, m_1, j_2, m_2} |I \, m_2 \, I \, m_1 \rangle \langle I \,m_1 \,I \, m_2 | J \, M \rangle = \sum_{j_1, m_1, j_2, m_2} |I \, m_1 \, I \, m_2 \rangle \langle I \,m_2 \,I \, m_1 | J \, M \rangle$$ (Второй шаг — просто перемаркировка фиктивных индексов $m_1$и $m_2$в сумме.) Мы видим, что $|J \, M \rangle$будет собственным состоянием $\hat{E}$тогда и только тогда, когда все коэффициенты Клебша-Гордана $\langle I \,m_1 \,I \, m_2 |J \, M \rangle$умножаются на тот же коэффициент, когда мы обмениваем $m_1 \leftrightarrow m_2$. К счастью, коэффициенты Клебша-Гордона удовлетворяют тождеству $$\langle j_1 \,m_1 \, j_2 \, m_2 | J \, M \rangle = (-1)^{j_1 + j_2 - J} \langle j_2 \,m_2 \, j_1 \, m_1 | J \, M \rangle$$ и так у нас есть $$\begin{multline} \hat{E} |J \, M \rangle = \sum_{j_1, m_1, j_2, m_2} |I \, m_1 \, I \, m_2 \rangle \left[ (-1)^{2I - J} \langle I \,m_1 \,I \, m_2 | J \, M \rangle \right] \\ = (-1)^{2I - J} \sum_{j_1, m_1, j_2, m_2} |I \, m_1 \, I \, m_2 \rangle \langle I \,m_1 \,I \, m_2 | J \, M \rangle = (-1)^{2I - J} |J \, M \rangle. \end{multline}$$ Таким образом, комбинированные состояния симметричны, когда$2I$и$J$оба четны или оба нечетны, и антисимметричны, когда одна величина четна, а другая нечетна.

Окончательные состояния$\left|j,m\right\rangle$возникает из-за связи двух угловых моментов$j_{\alpha}$и$j_{\beta}$связаны с начальными несвязанными состояниями$\left|j_{\alpha},m^{\alpha}\right\rangle, \left|j_{\beta},m^{\beta}\right\rangle$через так называемые коэффициенты Глебша-Гордана $C_{jm^{\alpha}m^{\beta}}^{j_{\alpha}j_{\beta}}$

$$\begin{equation} \left|j,m\right\rangle =\sum_{m^{\alpha},m^{\beta}}^{m^{\alpha}\!+m^{\beta}=m}C_{jm^{\alpha}m^{\beta}}^{j_{\alpha}j_{\beta}}\left|j_{\alpha},m^{\alpha}\right\rangle \left|j_{\beta},m^{\beta}\right\rangle \tag{01} \end{equation}$$ где $$\begin{equation} \begin{split} & j=\vert j_{\alpha}-j_{\beta}\vert,\vert j_{\alpha}-j_{\beta}\vert+1 , \cdots , j_{\alpha}+j_{\beta}\\ & m=-j,-j+1, \cdots , j-1,j\\ & m= m^{\alpha}+m^{\beta}\\ & m^{\alpha} = -j_{\alpha},-j_{\alpha}+1, \cdots, j_{\alpha}-1,j_{\alpha}\\ & m^{\beta} = -j_{\beta},-j_{\beta}+1, \cdots, j_{\beta}-1,j_{\beta}\\ & \left|j_{\alpha},m^{\alpha}\right\rangle \left|j_{\beta},m^{\beta}\right\rangle=\left|j_{\alpha},m^{\alpha}\right\rangle \boldsymbol{\otimes}\left|j_{\beta},m^{\beta}\right\rangle \end{split} \tag{02} \end{equation}$$ Эти коэффициенты задаются уравнением (03) $$\begin{equation} \begin{split} & C_{jm^{\alpha}m^{\beta}}^{j_{\alpha}j_{\beta}}=\\ & \frac{\sqrt{\left(j+j_{\alpha}-j_{\beta}\right)!\left(j-j_{\alpha}+j_{\beta}\right)!\left(j_{\alpha}+j_{\beta}-j\right)!\left(j+m^{\alpha}+m^{\beta}\right)!\left(j-m^{\alpha}-m^{\beta}\right)!}}{\sqrt{\left(j+j_{\alpha}+j_{\beta}+1\right)!\left(j_{\alpha}-m^{\alpha}\right)!\left(j_{\alpha}+m^{\alpha}\right)!\left(j_{\beta}-m^{\beta}\right)!\left(j_{\beta}+m^{\beta}\right)!}}\\ &\times \sum_{\varkappa}\frac{\left(-1\right)^{\varkappa+j_{\beta}+m^{\beta}}\sqrt{\left( 2j+1\right) }\left(j+j_{\beta}+m^{\alpha}-\varkappa \right)!\left(j_{\alpha}-m^{\alpha}+\varkappa\right)!}{\left(j-j_{\alpha}+j_{\beta}-\varkappa \right)!\left(j+m^{\alpha}+m^{\beta}-\varkappa \right)!\varkappa!\left(\varkappa + j_{\alpha}-j_{\beta}-m^{\alpha}-m^{\beta}\right)!} \end{split} \tag{03} \end{equation}$$ Переменная $\,\varkappa\,$in series принимает все неотрицательные целые значения, для которых все факториалы имеют смысл.

Обмен$j_{\alpha}$и$j_{\beta}$и одновременно$m^{\alpha}$и$m^{\beta}$урожаи

$$\begin{equation} \begin{split} & C_{jm^{\beta}m^{\alpha}}^{j_{\beta}j_{\alpha}}=\\ & \frac{\sqrt{\left(j+j_{\alpha}-j_{\beta}\right)!\left(j-j_{\alpha}+j_{\beta}\right)!\left(j_{\alpha}+j_{\beta}-j\right)!\left(j+m^{\alpha}+m^{\beta}\right)!\left(j-m^{\alpha}-m^{\beta}\right)!}}{\sqrt{\left(j+j_{\alpha}+j_{\beta}+1\right)!\left(j_{\alpha}-m^{\alpha}\right)!\left(j_{\alpha}+m^{\alpha}\right)!\left(j_{\beta}-m^{\beta}\right)!\left(j_{\beta}+m^{\beta}\right)!}}\\ &\times \sum_{\varkappa}\frac{\left(-1\right)^{\varkappa+j_{\alpha}+m^{\alpha}}\sqrt{\left( 2j+1\right) }\left(j+j_{\alpha}+m^{\beta}-\varkappa \right)!\left(j_{\beta}-m^{\beta}+\varkappa\right)!}{\left(j+j_{\alpha}-j_{\beta}-\varkappa \right)!\left(j+m^{\alpha}+m^{\beta}-\varkappa \right)!\varkappa!\left(\varkappa - j_{\alpha}+j_{\beta}-m^{\alpha}-m^{\beta}\right)!} \end{split} \tag{04} \end{equation}$$

Как указано у Вигнера ⁽¹⁾ $\; C_{jm^{\alpha}m^{\beta}}^{j_{\alpha}j_{\beta}}$останется неизменным, если$j_{\alpha}$и$j_{\beta}$и одновременно$m^{\alpha}$и$m^{\beta}$меняются местами, и в этом результате множитель$\left(-1\right)^{j_{\alpha}+j_{\beta}-j}$применены

$$\begin{equation} C_{jm^{\alpha}m^{\beta}}^{j_{\alpha}j_{\beta}} =\left(-1\right)^{j_{\alpha}+j_{\beta}-j} C_{jm^{\beta}m^{\alpha}}^{j_{\beta}j_{\alpha}} \tag{05} \end{equation}$$ Обратите внимание, что при втором обмене общий коэффициент будет равен $\left(-1\right)^{2\left(j_{\alpha}+j_{\beta}-j\right)}=+1$как и ожидалось, поскольку $\left(j_{\alpha}+j_{\beta}-j\right)$всегда является (неотрицательным) целым числом.

Таким образом, для$j_{\alpha}=I=j_{\beta}$два коэффициента отличаются на$(-1)^\left(2I-j\right)$и в согласии с ответом Майкла Зайферта:

комбинированные состояния симметричны, когда$2I$и$j$оба четны или оба нечетны, и антисимметричны, когда одна величина четна, а другая нечетна.

---

Примеры :

1. $\qquad j_{\alpha}=\frac{1}{2}=j_{\beta}$

$$\begin{equation} \boldsymbol{2}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{2}=\boldsymbol{1}\boldsymbol{\oplus}\boldsymbol{3} \nonumber \end{equation}$$ $$\begin{equation} \begin{bmatrix} \left|0,\hphantom{\!\!-\!}0\right\rangle\vphantom{\left|\frac12,\!\!-\frac12\right\rangle_{\beta}}\\ \left|1,\!\!-\!1\right\rangle\vphantom{\left|\frac12,\!\!-\frac12\right\rangle_{\beta}}\\ \left|1,\hphantom{\!\!-\!}0\right\rangle\vphantom{\left|\frac12,\!\!-\frac12\right\rangle_{\beta}}\\ \left|1,\!\!+\!1\right\rangle\vphantom{\left|\frac12,\!\!-\frac12\right\rangle_{\beta}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0&-\rho\hphantom{+}&+\rho\hphantom{+}&0\vphantom{\left|\frac{1} {2},\!\!-\frac12\right\rangle_{\beta}}\\ +1\hphantom{+}&0&0&0\vphantom{\left|\frac{1} {2},\!\!-\frac12\right\rangle_{\beta}}\\ 0&+\rho\hphantom{+}&+\rho\hphantom{+}&0\vphantom{\left|\frac{1} {2},\!\!-\frac12\right\rangle_{\beta}}\\ 0&0&0&+1\hphantom{+}\vphantom{\left|\frac{1} {2},\!\!-\frac12\right\rangle_{\beta}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \left|\frac{1}{2},\!\!-\frac{1}{2}\right\rangle_{\alpha}\left|\frac{1} {2},\!\!-\frac12\right\rangle_{\beta}\\ \left|\frac{1}{2},\!\!-\frac{1}{2}\right\rangle_{\alpha}\left|\frac{1}{2},\!\!+\frac12\right\rangle_{\beta}\\ \left|\frac{1}{2},\!\!+\frac{1}{2}\right\rangle_{\alpha}\left|\frac{1}{2},\!\!-\frac12\right\rangle_{\beta}\\ \left|\frac{1}{2},\!\!+\frac{1}{2}\right\rangle_{\alpha}\left|\frac{1}{2},\!\!+\frac12\right\rangle_{\beta} \end{bmatrix} \, , \quad \rho = \sqrt{\tfrac12} \tag{Ex-01} \end{equation}$$

^{$\boldsymbol{1} : \left|0,\,0\,\right\rangle \Longrightarrow \text{antisymmetric}$}

^{$\boldsymbol{3} : \left|1,\!\!-\!1\right\rangle,\left|1,0\right\rangle,\left|1,\!\!-\!1\right\rangle\Longrightarrow \text{symmetric}$}

---

2. $\qquad j_{\alpha}=1=j_{\beta}$

$$\begin{equation} \boldsymbol{3}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{3}=\boldsymbol{1}\boldsymbol{\oplus}\boldsymbol{3}\boldsymbol{\oplus}\boldsymbol{5} \nonumber \end{equation}$$ $$\begin{equation} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \begin{bmatrix} \left|0,\hphantom{\!\!-\!}0\right\rangle\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ \left|1,\!\!-\!1\right\rangle\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ \left|1,\hphantom{\!\!-\!}0\right\rangle\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ \left|1,\!\!+\!1\right\rangle\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ \left|2,\!\!-\!2\right\rangle\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ \left|2,\!\!-\!1\right\rangle\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ \left|2,\hphantom{\!\!-\!}0\right\rangle\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ \left|2,\!\!+\!1\right\rangle\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ \left|2,\!\!+\!2\right\rangle\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \end{bmatrix} \!=\! \begin{bmatrix} 0&0&+\sigma\hphantom{+}&0&-\sigma\hphantom{+}&0&+\sigma\hphantom{+}&0&0\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ 0&-\rho\hphantom{+}&0&+\rho\hphantom{+}&0&0&0&0&0\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ 0&0&-\rho\hphantom{+}&0&0&0&+\rho\hphantom{+}&0&0\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ 0&0&0&0&0&-\rho\hphantom{+}&0&+\rho\hphantom{+}&0\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ +1\hphantom{+}&0&0&0&0&0&0&0&0\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ 0&+\rho\hphantom{+}&0&+\rho\hphantom{+}&0&0&0&0&0\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ 0&0&+\tau\hphantom{+}&0&+\upsilon\hphantom{+}&0&+\tau\hphantom{+}&0&0\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ 0&0&0&0&0&+\rho\hphantom{+}&0&+\rho\hphantom{+}&0\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \\ 0&0&0&0&0&0&0&0&+1\hphantom{+}\vphantom{\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\alpha}\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta} \\ \left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\alpha}\left|1,\hphantom{\!\!-\!}0\right\rangle_{\beta} \\ \left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\alpha}\left|1,\!\!+\!1 \right\rangle_{\beta} \\ \left|1,\hphantom{\!\!-\!}0\right\rangle_{\alpha}\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta} \\ \left|1,\hphantom{\!\!-\!}0\right\rangle_{\alpha}\left|1,\hphantom{\!\!-\!}0\right\rangle_{\beta} \\ \left|1,\hphantom{\!\!-\!}0 \right\rangle_{\alpha}\left|1,\!\!+\!1\right\rangle_{\beta} \\ \left|1,\!\!+\!1 \right\rangle_{\alpha}\left|1,\!\!-\!1 \right\rangle_{\beta} \\ \left|1,\!\!+\!1 \right\rangle_{\alpha}\left|1,\hphantom{\!\!-\!}0\right\rangle_{\beta} \\ \left|1,\!\!+\!1\right\rangle_{\alpha}\left|1,\!\!+\!1\right\rangle_{\beta} \end{bmatrix} \,, \: \begin{matrix} \rho = \sqrt{\frac12} \\ \sigma = \sqrt{\frac13}\\ \tau = \sqrt{\frac16}\\ \upsilon = \sqrt{\frac23} \end{matrix} \tag{Ex-02} \end{equation}$$

^{$\boldsymbol{1} : \left|0,\,0\,\right\rangle \Longrightarrow \text{symmetric}$}

^{$\boldsymbol{3} : \left|1,\!\!-\!1\right\rangle,\left|1,0\right\rangle,\left|1,\!\!-\!1\right\rangle\Longrightarrow \text{antisymmetric}$}

^{$\boldsymbol{5} : \left|2,\!\!-\!2\right\rangle,\left|2,\!\!-\!1\right\rangle,\left|2,0\right\rangle,\left|2,\!\!+\!1\right\rangle,\left|2,\!\!+\!2\right\rangle \Longrightarrow \text{symmetric}$}

---

^{(1) Вигнер Юджин П. «Теория групп и ее применение к квантовой механике атомных спектров» (1959) : как указано в сноске на стр. 192, два коэффициента отличаются, используя наши символы, на коэффициент$\left(-1\right)^{j_{\alpha}+j_{\beta}-j}$.}