Нахождение разрешенных значений полного углового момента jjj и проекции полного углового момента mjmjm_{j}?

На самом деле обычно сначала находят полный список значений$m_l+m_s$: так как общая проекция$L_z=L_{z1}+L_{z2}$, у вас будет

$$\begin{align} L_z\left[\vert 2m_l\rangle\vert \textstyle\frac{1}{2}m_s\rangle\right]&= \left[L_{z1}\vert 2m_l\rangle\right] \vert \textstyle{\frac{1}{2}}m_s\rangle +\vert 2m_l\rangle\vert \left[L_{z2}\vert \frac{1}{2}m_s\rangle\right]\, ,\\ &=(m_l+m_s)\vert 2m_l\rangle\vert \textstyle\frac{1}{2}m_s\rangle\, . \end{align}$$

Поскольку значения$m_j$должен бежать от$-j$к$j$и все значения$m_j$должен появиться для данного$j$, можно вывести возможные значения$j$рекурсивно:

1. Сначала посмотрите на наибольшее значение$m_l+m_s$в списке всех возможных$m_j$с. Это значение должно быть наибольшим$j$, удаляя одну копию всех$m_j$значения между$m_l+m_s$и$-(m_l+m_s)$. Удалив эти$m_j$мы получаем обновленный список оставшихся значений$m_l+m_s$.
2. Повторите процесс с обновленным списком.
3. Повторяйте шаг 2, пока все значения$m_l+m_s$исчерпаны.