Вырождение состояний при учете спин-орбитальной связи

Прежде чем я задам этот вопрос, я должен включить некоторую необходимую справочную информацию следующим образом, чтобы вопрос имел смысл:

В простой квантово-механической трактовке водорода все состояния с одинаковым значением главного квантового числа$n$вырождены, так как имеют одинаковую энергию. Суммарная вырожденность всех состояний с заданным значением равна$2n^2$и это можно показать следующим образом:

Во-первых, давайте рассмотрим (в основном для справки) соответствующие квантовые числа для водорода в этой задаче:

$n$: Главное квантовое число ($n\ge 1$; целочисленные значения)

$\ell$: Квантовое число орбитального углового момента ($0\le\ell\le n-1$; целочисленные значения)

$m_{\ell}$: Магнитное квантовое число ($-\ell\le m_{\ell}\le \ell$; целочисленные значения)

$m_s$: Квантовое число проекции спина ($-s\le m_s\le s$; для нашего случая$m_s=\pm \frac12$)

Таблица разрешенных квантовых чисел:

Из приведенной выше таблицы легко увидеть, что для заданного$n$сумма связанных$m_{\ell}$значения для каждого$\ell$дам$n^2$. Или записать более компактно, так как каждый$\ell$имеет$2\ell + 1$значения для$m_{\ell}$:

Теперь заметим, что есть два возможных значения для$m_s$(который я не удосужился поместить в таблицу, так как это утомительно), поэтому мы умножаем приведенное выше выражение на$2$чтобы получить ответ на$2n^2$.

Вышеупомянутое было сделано без учета спин-орбитальной связи. При учете спин-орбитальной связи каждый$n$,$\ell$состояние порождает два уровня с полным угловым моментом$j=\ell \pm \frac12$

Покажите, что общее количество состояний с одинаковыми значениями$n$и$\ell$неизменен. Это иллюстрирует общую мысль о том, что повторное соединение угловых моментов никогда не меняет общее количество доступных состояний.

Сначала я процитирую решение этого вопроса, а затем объясню, какую часть я не понимаю:

Штат$n,\ell$имеет вырождение$2(2\ell+1)$. Когда он разделяется на два состояния с$j=\ell-\frac12$и$j=\ell +\frac12$, вырождения этих состояний$\color{red}{2\ell}$ $\,\color{red}{\text{&}}$ $\,\color{red}{2\ell + 2}$, так что полное вырождение по-прежнему$4\ell +2$. Поскольку это справедливо для каждого значения$\ell$, оно выполняется для полного набора состояний, имеющих одно и то же значение$n$.

Во-первых, я понимаю, почему государство$n,\ell$имеет вырождение$2(2\ell+1)$, потому что есть два возможных значения$m_{s}$для данного$\ell$ и есть$2\ell +1$ценности$m_{\ell}$что умножить, чтобы дать$2(2\ell+1)$.

Часть решения, которую я не понимаю, отмечена красным.

После$n,\ell$государство распадается на$2$состояния, почему эти состояния должны иметь вырождения$\color{red}{2\ell}$и$\,\color{red}{2\ell + 2}$?

Положить по-другому; Почему бы не разделить как$\ell$и$3\ell +2$например какую сумму отдать требуемую$4\ell +2$или$\ell + 1$и$3\ell +1$?

Боюсь, я упускаю здесь что-то очень простое.