Как квантовые поля связаны с представлениями группы Лоренца?

Я попытаюсь ответить только на вопрос 1 о связи между операторными полями и одночастичными состояниями. Меня в основном интересовало понимание КЭД, поэтому я мало думал о заряженных скалярах, поэтому сейчас не могу ответить на вопрос 2.

Почему мы представляем частицы со спином 0 как скалярные поля, частицы со спином 1/2 как спиноры, а частицы со спином 1 как 4-векторы?

Законы физики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета, поэтому классические поля должны преобразовываться под действием однородной группы Лоренца SO(1,3). Поэтому простейшие поля должны быть неприводимыми представлениями SO(1,3). Очень сложно найти невозвраты SO (1,3), однако гораздо проще получить невозвраты двойного покрытия группы Лоренца, которая является специальной (определяющей единицу) линейной группой$2\times 2$комплексные матрицы SL(2,C). К счастью, природе также нравится SL(2,C). Конечномерные иррепрезентации SL(2,C) представляют собой полностью симметричные спиноры Вейля вида$\psi^{AB\ldots C}$где индексы$A,B,\ldots,C$принимать значения${1,2}$. Конечномерные иррепрезентации SL (2, C) также являются комплексно-сопряженными полями, которые записываются с точечными индексами (обозначение Ван дер Вардена)$\chi_{\dot{A}\dot{B}\dots\dot{C}}$чтобы напомнить нам, что их матрицы преобразования являются комплексно-сопряженными.

Полностью симметричный спинор Вейля с$m$индексы$m+1$независимые компоненты. Итак, спинорное поле Вейля$\psi^{A}$имеет две компоненты и представляет собой спин 1/2, симметричное спинорное поле$\psi^{AB}$имеет три компонента и представляет собой спин 1. Спиноры Вейля не инвариантны относительно четности, поэтому для создания полей, инвариантных по четности, нужна прямая сумма поля и одного, преобразующегося при комплексно-сопряженном преобразовании. Инвариантное по четности электронное поле имеет вид$\psi^{A}\oplus\chi^{\dot{B}}$. Он состоит из четырех независимых компонентов. При укладке в виде вектора-столбца с четырьмя компонентами это спинорное поле Дирака. Инвариантное по четности фотонное поле имеет вид$\psi^{AB}\oplus\psi^{*}_{\dot{A}\dot{B}}$. Три независимых сложных компонента$\psi^{AB}$линейно связаны с шестью компонентами электрического и магнитного полей$E^{i}$и$B^{i}$.

Уравнения движения для этих классических полей составить очень просто — здесь действительно нет места догадкам. Оператор 4-импульса есть$\hat{p}_{\mu}=i\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}$. Оператор 4-импульса в обозначениях спинора Вейля имеет вид$\hat{p}^{\dot{A}}_{B}=\hat{p}^{\mu}[\sigma_{\mu}]^{\dot{A}}_{B}$где четыре$2\times 2$матрицы$\sigma_{\mu}$матрицы Паули. Уравнение Дирака для электронного поля:

$$\begin{eqnarray*} \hat{p}^{\dot{A}}_{B}\psi^{B}=m\chi^{\dot{A}}\\ \hat{p}^{A}_{\dot{B}}\chi^{\dot{B}}=m\psi^{A} \end{eqnarray*}$$ Уравнения Максвелла для фотонного поля таковы: $$\begin{equation} \hat{p}^{\dot{A}}_{B}\psi^{BC}=0 \end{equation}$$ Цель уравнения Дирака состоит в том, чтобы заставить импульс быть внутри оболочки. $p^{\mu}p_{\mu}=m^{2}$. Цель уравнений Максвелла состоит в том, чтобы уменьшить шесть реальных степеней свободы фотонного поля. $\psi^{AB}$к двум спиральным степеням свободы фотона.

Краткий ответ на вопрос состоит в том, что поля должны быть составлены из неприводимых представлений двойного накрытия однородной группы Лоренца SL(2,C).

Как эти поля связаны с одночастичными состояниями гильбертова пространства?

Запишем одночастичные состояния как$|p,\lambda\rangle$где$p$импульс и$\lambda$является спиральность. Для массивной частицы спиральность$\lambda$- составляющая спина, измеренная вдоль 3-вектора импульса частицы. Для массивной частицы со спином 1/2 спиральность принимает значения$\lambda=-1/2,+1/2$. Для массивной частицы со спином 1 спиральность принимает значения$\lambda=-1,0,+1$. Со спиральностью лучше работать, чем с z-компонентой спина в системе покоя частицы, потому что спиральность инвариантна при вращении частицы, а также спиральность инвариантна при ускорении вдоль направления 3-импульса частицы.

Я думал над этим вопросом для электронов, так что я рассмотрю этот случай. Классическое электронное поле — это спинор Дирака.$\psi^{a}(x^{\mu})$где индекс$a=1,2,3,4$обозначает четыре компонента спинора Дирака. Когда мы переходим к квантовой теории, это поле становится операторным полем$\hat{\psi}^{a}(x^{\mu})$. Это операторное поле имеет разложение по операторам испускания и поглощения для электронов и позитронов,

$$\begin{equation} \hat{\psi}^{a}(x^{\mu})=\int \frac{d^{3}p}{(2\pi)^{3/2}}\frac{\sqrt{m}}{2\omega}\left(\phi^{a}_{\lambda}(p)\hat{\eta}^{\dagger}_{p\lambda}(0)e^{-i\omega t}+\text{ positron emission terms}\right)e^{ip^{r}x^{r}} \end{equation}$$ где $\hat{\eta}^{\dagger}_{p\lambda}(0)$являются операторами поглощения для электронов с 3-импульсом $p$и спиральность $\lambda$в представлении Шредингера (стационарные операторы) и $\phi^{a}_{\lambda}(p)$представляет собой плосковолновое решение уравнения Дирака и $\omega=p^{0}$(энергия). Мы можем ввести одночастичные состояния, позволив оператору $\hat{\psi}^{\dagger}(x)$воздействовать на состояние вакуума $|S\rangle$. $$\begin{equation} \hat{\psi}^{\dagger a}(x^{\mu})|S\rangle=\int \frac{d^{3}p}{(2\pi)^{3/2}}\frac{\sqrt{m}}{2\omega}\phi^{\dagger a}_{\lambda}(p)|p,\lambda\rangle e^{ip_{\mu}x^{\mu}} \end{equation}$$ Возьмем эрмитово сопряжение для удобства, чтобы вернуться к электронному полю, $$\begin{equation} \langle S|\hat{\psi}^{a}(x^{\mu})=\int \frac{d^{3}p}{(2\pi)^{3/2}}\frac{\sqrt{m}}{2\omega}\phi^{a}_{\lambda}(p)e^{-ip_{\mu}x^{\mu}}\langle p,\lambda | \end{equation}$$ Ввести базисные состояния $\langle S|\hat{\psi}^{a}(x^{\mu})=\langle x^{\mu}, a|$. Приведенное выше уравнение представляет собой преобразование координат между базисными состояниями одной частицы. $\langle p,\lambda|$и новые базисные состояния $\langle x^{\mu},a|$помечен пространственно-временной точкой $x^{\mu}$и спинорный индекс Дирака $a$. Преобразование координат можно записать более прозрачно, как $$\begin{equation} \langle x,a|=[T^{-1}]^{(x,a)}_{\ \ \ \ \ (p,\lambda)}\langle p,\lambda| \end{equation}$$ где $(x,a)$и $(p,\lambda)$представляют собой составные этикетки и $T^{-1}$— матрица преобразования из базиса одночастичных состояний в базис спинорного поля. Матричные элементы преобразования: $$\begin{equation} \langle x,a|p,\lambda\rangle=[T^{-1}]^{(x,a)}_{\ \ \ \ \ (p,\lambda)}=\frac{\sqrt{m}}{(2\pi)^{3/2}}\phi^{a}_{\lambda}(p)e^{-ip_{\mu}x^{\mu}} \end{equation}$$ В преобразовании сумма по меткам импульса использует инвариантную меру Лоренца $d^{3}p/(2p^{0})$.

Таким образом, поле оператора электрона является, по существу, базисом состояний, который связан с базисными состояниями одиночной частицы преобразованием координат. Другими словами, поле оператора электрона и одночастичные состояния являются эквивалентными представлениями группы Пуанкаре. Я узнал об этом из раздела 10.5.3, стр. 207 «Теории групп в физике» Ву-Ки Танга.

После квантования поля превращаются в операторы, и векторное пространство, в котором они действуют, теперь состоит из одночастичных состояний?

Джулиан Рей задал вышеуказанный вопрос в разделе комментариев. Я решил расширить свой ответ, потому что сложно ответить на этот дополнительный вопрос в комментарии.

Оператор излучения электрона в импульсном состоянии$p$и спиральность$\lambda$является$\hat{\eta}_{p,\lambda}$. Другими словами, когда оператор воздействует на вакуум$|S\rangle$мы получаем одночастичное состояние$|p,\lambda\rangle=\hat{\eta}_{p,\lambda}|S\rangle$. Эти операторы эмиссии не делают ничего, кроме воздействия на вакуум, так что мы можем с тем же успехом отбросить состояние вакуума и просто зарегистрировать эквивалентность$\hat{\eta}_{p,\lambda}\sim |p,\lambda\rangle$. Операторы эмиссии электронов являются синонимами одночастичных электронных состояний. Следовательно, приведенное ранее разложение поля электронных операторов по операторам испускания и поглощения

$$\begin{equation} \hat{\psi}^{a}(x^{\mu})=\int \frac{d^{3}p}{(2\pi)^{3/2}}\frac{\sqrt{m}}{2\omega}\left(\phi^{a}_{\lambda}(p)\hat{\eta}^{\dagger}_{p\lambda}(0)e^{-i\omega t}+\text{ positron emission terms}\right)e^{ip^{r}x^{r}} \end{equation}$$ на самом деле говорит о том, что поле оператора электрона представляет собой линейную комбинацию состояний одной частицы. Поле оператора электрона $\hat{\psi}^{a}(x)$действительно бесконечный набор базисных векторов $\hat{\psi}^{a}(x)\sim |x,a\rangle$(игнорируя позитроны для упрощения аргумента), которые охватывают то же пространство, что и одночастичные состояния. Ответ на вопрос отрицательный; поле оператора не действует на состояния одной частицы, поле оператора - это просто еще один набор базисных векторов, которые охватывают пространство состояний одной частицы.

Поля операторов играют в теории еще одну роль: их можно перемножать, образуя многочлены, которые создают многочастичные состояния.