Какие частицы соответствуют (1,1/2)(1,1/2)(1,1/2) представлению группы Лоренца?

Question

Какие частицы соответствуют (1,1/2)(1,1/2)(1,1/2) представлению группы Лоренца?

Физика
теория поля
квантовый спин
Лоренц-симметрия
симметрия Пуанкаре
теория представлений

пользователь1379857

Каждое неприводимое массивное унитарное представление группы Пуанкаре задается массой и неотрицательным полуцелым спином. Каждое безмассовое неприводимое унитарное представление группы Пуанкаре задается полуцелой спиралью. Это было доказано Вигнером.

Каждое конечномерное неприводимое представление группы Пуанкаре задается двумя неотрицательными полуцелыми числами. $(j_1, j_2)$ .

Мы заботимся об унитарных представлениях группы Пуанкаре, когда говорим о состояниях частиц, и мы заботимся о конечномерных представлениях группы Лоренца, когда говорим об операторах поля и построении лагранжианов.

Я знаю, что между ними нет переписки 1-1. Например, указание $(j_1, j_2)$ не говорит вам, какова масса частиц в вашем спектре. Тем не менее, между ними все еще есть НЕКОТОРЫЕ отношения.

Например, возьмем представление Дирака $(\tfrac{1}{2}, 0) \oplus (0, \tfrac{1}{2})$ . Если в лагранжиане нет массового члена, то в спектре будет четыре частицы: безмассовые правые и левые частицы/античастицы Вейля, каждая со спиральностью $h = \pm \tfrac{1}{2}$ . Если есть массовый член, то будут только две независимые частицы, массивный спин $\tfrac{1}{2}$ частицы и античастицы.

Таким образом, очевидно, что существует какая-то связь между $(j_1, j_2)$ представление группы Лоренца и соответствующее унитарное представление группы Пуанкаре. Но эти отношения сбивают с толку, и я не понимаю, как они вообще работают.

Давайте возьмем $(1, \tfrac{1}{2})$ представительство например. Какому типу частиц это соответствует? Я построил представление, а затем посмотрел на него, ограниченное $SO(3)$ подгруппа. После ограничения $(1, \tfrac{1}{2})$ распались на $\tfrac{3}{2} \oplus \tfrac{1}{2}$ . Представим, что эти частицы не имеют массы. Соответствует ли это шести безмассовым частицам со спиральностью $\tfrac{3}{2}, \tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2}, -\tfrac{3}{2}, \tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2}$ ? Можно ли сделать эти частицы массивными с помощью некоторого обобщения майорановской процедуры? Будет ли она тогда соответствовать только двум массивным частицам, одному спину $\tfrac{3}{2}$ и один спин $\tfrac{1}{2}$ ?

Мне кажется очень странным, что у вас может быть какой-то неприводимый, нетривиальный способ взаимодействия вращений с бустами, когда речь идет о группе Лоренца, но это не тот случай, когда речь идет о группе Пуанкаре.

Я предполагаю, что мой общий вопрос состоит в том, каковы возможные представления частиц, которые могут быть рождены из $(j_1, j_2)$ представительство на местах?

Космас Захос

Вайнберг, т. 1, стр. 232.

СлучайныйПреобразование Фурье

Поле с лоренцевскими метками

(j_{1}, j_{2})

$(j_1,j_2)$ создает частицы с меткой Пуанкаре

s

$s$ только если

s \in j_{1} + j_{2}, j_{1} + j_{2} - 1, \dots, | j_{1} - j_{2} |

$s\in j_1+j_2,j_1+j_2-1,\dots,|j_1-j_2|$ . (Более кратко, только если

s \in j_{1} \otimes j_{2}

$s\in j_1\otimes j_2$ ). См. Можно ли встраивать представления Пуанкаре в нестандартные представления Лоренца? .

пользователь1379857

Как это работает в безмассовом случае? Не каждое спиновое состояние представлено спиралью, например, как фотоны не имеют

h = 0

$h = 0$ спиральность? Будет ли частица с «безмассовым спином 3/2» иметь только спиральность

h = \pm 3 / 2

$h = \pm 3/2$ ?

пользователь1379857

Но я имею в виду, для вращения

3 / 2

$3/2$ безмассовый случай, вы получаете частицы со спиральностью

\pm 3 / 2

$\pm 3/2$ , или также

\pm 1 / 2

$\pm 1/2$ также?

Ответы (1)

Какие частицы соответствуют (1,1/2)(1,1/2)(1,1/2) представлению группы Лоренца?

Поле с лоренцевскими метками $(j_1,j_2)$ создает частицы с меткой Пуанкаре $s$ только если $s\in j_1+j_2,j_1+j_2-1,\dots,|j_1-j_2|$ . (Более кратко, только если $s\in j_1\otimes j_2$ ). См. Можно ли встраивать представления Пуанкаре в нестандартные представления Лоренца? .
Как это работает в безмассовом случае? Не каждое спиновое состояние представлено спиралью, например, как фотоны не имеют $h = 0$ спиральность? Будет ли частица с «безмассовым спином 3/2» иметь только спиральность $h = \pm 3/2$ ?
Но я имею в виду, для вращения $3/2$ безмассовый случай, вы получаете частицы со спиральностью $\pm 3/2$ , или также $\pm 1/2$ также?

пользователь1379857 · Answer 1

Я думаю, что мой вопрос на самом деле не был четко определен. Для начала, когда вы ограничиваете $SO(3)$ подгруппа $(j_1, j_2)$ представитель группы Лоренца, вы получаете $j_1 \otimes j_2$ представитель $SO(3)$ , который, как обычно, разлагается как

{Дж}_{1} \otimes {Дж}_{2} "=" | {Дж}_{1} + {Дж}_{2} | \oplus \dots \oplus | {Дж}_{1} - {Дж}_{2} | .

$j_1 \otimes j_2 = |j_1 + j_2 | \oplus \ldots \oplus |j_1 - j_2|.$

Таким образом, ваши повторения частиц должны содержаться в этих повторениях.

Однако некоторые из этих представителей не будут физическими частицами. Например, $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ представитель становится $0 \oplus 1$ , спин $0$ частица и спин $1$ частица. Тем не менее, спин $0$ частица будет «убита» $\partial_\mu A^\mu$ уравнение, полученное из массивного лагранжиана Прока. Итак, спина $0$ частица на самом деле не существует.

Дело в том, что если вы хотите знать, какие существуют физические частицы, недостаточно указать $(j_1, j_2)$ Представитель группы Лоренца. Вам также необходимо знать точную форму вашего лагранжиана. Однако я до сих пор не знаю, как найти желаемые лагранжианы вообще.

Какие частицы соответствуют (1,1/2)(1,1/2)(1,1/2) представлению группы Лоренца?

пользователь1379857

Космас Захос

СлучайныйПреобразование Фурье

пользователь1379857

пользователь1379857

Ответы (1)

пользователь1379857

Как квантовые поля связаны с представлениями группы Лоренца?

Почему бы нам не построить спинор со спином 1/4?

Неинвариантность Пуанкаре в реальном мире и теории поля

Почему бесконечномерные представления группы Пуанкаре не классифицируются двумя полуцелыми числами?

Соотношения между спином представлений группы Лоренца и группы Пуанкаре

Почему изучают представления группы Лоренца, а не только представления группы Пуанкаре?

Что определяет спин определенного поля? (формально)

Классификация Вигнера через структуру орбит группы Лоренца

Как насчет (1, 1/2) или (3/2, 1/2) представлений группы Лоренца?

Значение генераторов Лоренца